题目

[ln (x+sqrt(1+x^2))]'

$\left[\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]'$

题目解答

答案

我们要计算的是函数：

$\left[\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]'$

这是一个复合函数的导数，我们可以使用链式法则来求解。

第一步：设函数

令：

$f(x) = \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$

第二步：使用链式法则

根据链式法则：

$f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)'$

现在我们来求括号内的导数：

$\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)' = 1 + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 + x^2}\right)$

第三步：求 $\sqrt{1 + x^2}$ 的导数

$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 + x^2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

第四步：代入回原式

$\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)' = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

所以：

$f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)$

第五步：化简

我们来化简这个表达式：

$f'(x) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}}$

将分子通分：

$1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$

所以：

$f'(x) = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

最终答案：

$\boxed{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}$

这就是 $\left[\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]'$ 的导数。

解析

本题考查复合函数求导的知识，解题思路是利用链式法则逐步对复合函数进行求导并化简。

  1. 设函数$f(x) = \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$。
  2. 根据链式法则$f^\prime(x)=\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)^\prime$。
  3. 求$\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)^\prime$：
    • 因为$\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)^\prime = 1 + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 + x^2}\right)$。
    • 对于$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 + x^2}\right)$，令$u = 1 + x^2$，则$\sqrt{1 + x^2}=\sqrt{u}$。
    • 根据复合函数求导法则$\frac{d}{dx}(\sqrt{u})=\frac{d}{du}(\sqrt{u})\cdot\frac{du}{dx}$。
    • 先求$\frac{d}{du}(\sqrt{u})$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{d}{du}(\sqrt{u})=\frac{d}{du}(u^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$。
    • 再求$\frac{du}{dx}$，因为$u = 1 + x^2$，所以$\frac{du}{dx}=2x$。
    • 则$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 + x^2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$。
    • 所以$\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)^\prime = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$。
  4. 将$\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)^\prime$代入$f^\prime(x)$得：
    • $f^\prime(x) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)$。
  5. 化简$f^\prime(x)$：
    • 先将分子$1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$通分，$1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$。
    • 则$f^\prime(x) = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$。