四、订算题-|||-如图 9-1, 质量为m1的物体与劲度系数为k的轻质弹簧相连,置于光滑平面-|||-二静止,现有质量为m2的小球以水平速度v和m1发生完全非弹性碰撞,试分析-|||-撞后系统的运动规律,并写出相应的运动方程。-|||-v-|||-k-|||-M|m1| m2 x-|||-图 9-1

步骤 1：完全非弹性碰撞
在完全非弹性碰撞中，两个物体碰撞后粘在一起，以共同的速度运动。根据动量守恒定律，碰撞前后的总动量保持不变。因此，碰撞后物体和小球的共同速度为：
\[ v' = \frac{m_2 v}{m_1 + m_2} \]

步骤 2：弹簧压缩
碰撞后，物体和小球以共同速度 \( v' \) 向左运动，压缩弹簧。当弹簧压缩到最大时，物体和小球的速度减为零。根据能量守恒定律，碰撞前的动能等于弹簧的最大势能。因此，弹簧的最大压缩量 \( \Delta x \) 为：
\[ \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v'^2 = \frac{1}{2} k \Delta x^2 \]
\[ \Delta x = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2) v'^2}{k}} \]
\[ \Delta x = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2) \left(\frac{m_2 v}{m_1 + m_2}\right)^2}{k}} \]
\[ \Delta x = \sqrt{\frac{m_2^2 v^2}{k (m_1 + m_2)}} \]

步骤 3：简谐运动
当弹簧压缩到最大时，物体和小球开始向右做简谐运动。简谐运动的周期 \( T \) 为：
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} \]
简谐运动的角频率 \( \omega \) 为：
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} \]
简谐运动的振幅 \( A \) 为：
\[ A = \Delta x = \sqrt{\frac{m_2^2 v^2}{k (m_1 + m_2)}} \]
简谐运动的运动方程为：
\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]
其中，\( \phi \) 为初相位，根据初始条件确定。由于初始时刻 \( t = 0 \) 时，物体和小球在最大压缩位置，因此 \( \phi = 0 \)。因此，简谐运动的运动方程为：
\[ x(t) = \sqrt{\frac{m_2^2 v^2}{k (m_1 + m_2)}} \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} t\right) \]