题目
例 6-4 一扇形均匀带电平面如图所示,设电荷面密度为σ,其两边的-|||-弧长分别为l1、l2,试求圆心O处的电势(以无-|||-穷远处为电势零点).-|||-l2-|||-l1-|||-题 e 0-|||-一 r-|||-dr-|||-例 6-4 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷元
扇形平面可看成圆弧的组合，将带电圆弧窄条作为电荷元。设圆弧对应夹角为θ，在扇形面上作如图所示的圆弧形窄条，其面积元为 $dS=\theta rdr$。圆弧形窄条所带电荷量为 $dq=\sigma dS=\sigma \theta rdr$。
步骤 2：计算电势微元
圆弧形窄条在圆心O处产生的电势为 $dV=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}=\dfrac {\sigma \theta rdr}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}=\dfrac {\sigma \theta dr}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：积分求解总电势
圆心O处的电势为 $V=\int dv={\int }_{r_1}^{r_2}\dfrac {\sigma \theta dr}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$，其中 $r_1$ 和 $r_2$ 分别对应于弧长 $l_1$ 和 $l_2$ 的半径。由于 $l_1 = \theta r_1$ 和 $l_2 = \theta r_2$，可以将积分变量从 $r$ 转换为 $l$，即 $dr = \frac{dl}{\theta}$。因此，$V=\int dv={\int }_{l_1}^{l_2}\dfrac {\sigma dl}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$。
步骤 4：计算最终电势
$V=\int dv={\int }_{l_1}^{l_2}\dfrac {\sigma dl}{4\pi {\varepsilon }_{0}}=\dfrac {\sigma }{4\pi {\varepsilon }_{0}}(l_2-l_1)$。
扇形平面可看成圆弧的组合，将带电圆弧窄条作为电荷元。设圆弧对应夹角为θ，在扇形面上作如图所示的圆弧形窄条，其面积元为 $dS=\theta rdr$。圆弧形窄条所带电荷量为 $dq=\sigma dS=\sigma \theta rdr$。
步骤 2：计算电势微元
圆弧形窄条在圆心O处产生的电势为 $dV=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}=\dfrac {\sigma \theta rdr}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}=\dfrac {\sigma \theta dr}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：积分求解总电势
圆心O处的电势为 $V=\int dv={\int }_{r_1}^{r_2}\dfrac {\sigma \theta dr}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$，其中 $r_1$ 和 $r_2$ 分别对应于弧长 $l_1$ 和 $l_2$ 的半径。由于 $l_1 = \theta r_1$ 和 $l_2 = \theta r_2$，可以将积分变量从 $r$ 转换为 $l$，即 $dr = \frac{dl}{\theta}$。因此，$V=\int dv={\int }_{l_1}^{l_2}\dfrac {\sigma dl}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$。
步骤 4：计算最终电势
$V=\int dv={\int }_{l_1}^{l_2}\dfrac {\sigma dl}{4\pi {\varepsilon }_{0}}=\dfrac {\sigma }{4\pi {\varepsilon }_{0}}(l_2-l_1)$。