题目
1.计算下列三重积分:-|||-(3) iint sqrt ({x)^2+(y)^2}dxdydx V是由曲面 ^2+(y)^2=(z)^2 =1 所界定的-|||-区域;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域V是由曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}$ 和平面 $z=1$ 所界定的区域。曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}$ 是一个圆锥面，而平面 $z=1$ 是一个水平面。因此，积分区域V是一个圆锥体，其底面半径为1，高为1。
步骤 2：转换为柱坐标系
为了方便计算，我们将积分区域转换为柱坐标系。在柱坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，其中$r$是径向距离，$\theta$是角度，$z$是高度。积分区域V在柱坐标系中的表示为$0\leq r\leq z$，$0\leq z\leq 1$，$0\leq \theta\leq 2\pi$。
步骤 3：计算三重积分
在柱坐标系中，三重积分可以表示为：
$$\iiint_V \sqrt{x^2+y^2}dxdydz = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^z r\cdot r dzdrd\theta$$
其中，$\sqrt{x^2+y^2}=r$，$dxdydz=rdrd\theta dz$。
步骤 4：计算内层积分
首先计算内层积分：
$$\int_0^z r\cdot r dz = \int_0^z r^2 dz = \frac{1}{3}r^3\Big|_0^z = \frac{1}{3}z^3$$
步骤 5：计算中层积分
然后计算中层积分：
$$\int_0^1 \frac{1}{3}z^3 dr = \frac{1}{3}\int_0^1 z^3 dr = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}z^4\Big|_0^1 = \frac{1}{12}$$
步骤 6：计算外层积分
最后计算外层积分：
$$\int_0^{2\pi} \frac{1}{12} d\theta = \frac{1}{12}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{6}$$
积分区域V是由曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}$ 和平面 $z=1$ 所界定的区域。曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}$ 是一个圆锥面，而平面 $z=1$ 是一个水平面。因此，积分区域V是一个圆锥体，其底面半径为1，高为1。
步骤 2：转换为柱坐标系
为了方便计算，我们将积分区域转换为柱坐标系。在柱坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，其中$r$是径向距离，$\theta$是角度，$z$是高度。积分区域V在柱坐标系中的表示为$0\leq r\leq z$，$0\leq z\leq 1$，$0\leq \theta\leq 2\pi$。
步骤 3：计算三重积分
在柱坐标系中，三重积分可以表示为：
$$\iiint_V \sqrt{x^2+y^2}dxdydz = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^z r\cdot r dzdrd\theta$$
其中，$\sqrt{x^2+y^2}=r$，$dxdydz=rdrd\theta dz$。
步骤 4：计算内层积分
首先计算内层积分：
$$\int_0^z r\cdot r dz = \int_0^z r^2 dz = \frac{1}{3}r^3\Big|_0^z = \frac{1}{3}z^3$$
步骤 5：计算中层积分
然后计算中层积分：
$$\int_0^1 \frac{1}{3}z^3 dr = \frac{1}{3}\int_0^1 z^3 dr = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}z^4\Big|_0^1 = \frac{1}{12}$$
步骤 6：计算外层积分
最后计算外层积分：
$$\int_0^{2\pi} \frac{1}{12} d\theta = \frac{1}{12}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{6}$$