设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静-|||-止落下.求它到达地面的速度(不计空气阻力和地球的自-|||-转).

考查要点：本题主要考查万有引力定律的应用及机械能守恒定律的理解。关键在于认识到物体下落过程中重力加速度变化，需用能量守恒求解速度。

解题核心思路：

1. 明确引力变化：物体下落过程中，到地心的距离从$2R$变为$R$，引力逐渐增大，不能直接用匀加速公式$v^2 = 2gh$。
2. 应用能量守恒：重力做功导致动能增加，需计算初始和末态的万有引力势能差，进而求出动能和速度。

破题关键点：

• 势能公式：万有引力势能为$E_p = -\frac{GMm}{r}$（以无限远处为零势能点）。
• 势能差计算：从$r=2R$到$r=R$，势能变化为$\Delta E_p = \frac{GMm}{2R}$。
• 动能定理：动能增量等于势能减少量，即$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$，最终消去$M$和$m$，用$gR^2 = GM$简化。

步骤1：确定初始和末态的势能

• 初始态：物体离地高度$R$，到地心距离$r_1 = 2R$，势能为
  $E_{p1} = -\frac{GMm}{2R}.$
• 末态：物体到达地面，到地心距离$r_2 = R$，势能为
  $E_{p2} = -\frac{GMm}{R}.$

步骤2：计算势能变化

势能减少量为：
$\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2} = \left(-\frac{GMm}{2R}\right) - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{2R}.$

步骤3：应用动能定理

物体初始动能为$0$，末态动能为$\frac{1}{2}mv^2$，根据能量守恒：
$\frac{1}{2}mv^2 = \Delta E_p = \frac{GMm}{2R}.$

步骤4：消去变量并简化

两边消去$m$，得：
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{2R}.$
利用$g = \frac{GM}{R^2}$，即$GM = gR^2$，代入得：
$v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{gR}.$