题目

长为 l，质量为 m 的匀质细杆，可在具有摩擦的水平桌面上绕中心转轴定轴转动，初始时的角速度为 omega_0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M_({阻)}。

长为 $l$，质量为 $m$ 的匀质细杆，可在具有摩擦的水平桌面上绕中心转轴定轴转动，初始时的角速度为 $\omega_0$，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 $t$ 后杆静止，求摩擦力矩 $M_{\text{阻}}$。

题目解答

答案

根据转动定律 $ M = I \alpha $，细杆的转动惯量为 $ I = \frac{1}{12} m l^2 $。 由运动学公式 $ \omega = \omega_0 + \alpha t $，可得 $ \alpha = -\frac{\omega_0}{t} $。 将 $ \alpha $ 代入转动定律： \[ M_{\text{阻}} = I \alpha = \frac{1}{12} m l^2 \times \left( -\frac{\omega_0}{t} \right) = -\frac{m l^2 \omega_0}{12 t} \] 取大小为： \[ M_{\text{阻}} = \frac{m l^2 \omega_0}{12 t} \] 方向与初角速度方向相反。 答案：$ M_{\text{阻}} = \frac{m l^2 \omega_0}{12 t} $（方向与初角速度相反）。

解析

本题考查刚体定轴转动定律以及匀变速转动的运动学公式的应用。解题的关键思路是先根据匀变速转动的运动学公式求出细杆的角加速度，再结合刚体定轴转动定律求出摩擦力矩。

  1. 求细杆的转动惯量 $I$：
    对于质量为 $m$、长度为 $l$ 的匀质细杆绕中心转轴定轴转动，其转动惯量公式为 $I = \frac{1}{12}ml^2$。
  2. 求细杆的角加速度 $\alpha$：
    已知细杆做匀变速转动，初始角速度为 $\omega_0$，经过时间 $t$ 后静止，即末角速度 $\omega = 0$。
    根据匀变速转动的运动学公式 $\omega = \omega_0 + \alpha t$，将 $\omega = 0$ 代入可得：
    $\begin{align*}0&=\omega_0 + \alpha t\\\alpha t&=-\omega_0\\\alpha&=-\frac{\omega_0}{t}\end{align*}$
    这里负号表示角加速度的方向与初角速度方向相反。
  3. 求摩擦力矩 $M_{\text{阻}}$：
    根据刚体定轴转动定律 $M = I\alpha$，将 $I = \frac{1}{12}ml^2$ 和 $\alpha = -\frac{\omega_0}{t}$ 代入可得：
    $\begin{align*}M_{\text{阻}}&=I\alpha\\&=\frac{1}{12}ml^2\times\left(-\frac{\omega_0}{t}\right)\\&=-\frac{ml^2\omega_0}{12t}\end{align*}$
    通常我们取力矩的大小，所以摩擦力矩的大小为 $M_{\text{阻}} = \frac{ml^2\omega_0}{12t}$，方向与初角速度方向相反。