题目
真空中均匀带电的球面和球体,两者的半径和带电量都相等,则带电球面的电场能量W1与带电球体的电场能量W2相比,W1 W2(填"大于"、“小于”或“等于”)
真空中均匀带电的球面和球体,两者的半径和带电量都相等,则带电球面的电场能量W1与带电球体的电场能量W2相比,W1 W2(填"大于"、“小于”或“等于”)
题目解答
答案
小于;
解析
步骤 1：计算带电球面的电场能量
带电球面的电场能量可以通过计算电场能量密度的积分得到。对于均匀带电球面，电场能量主要分布在球面外部，因为球面内部电场为零。电场能量密度为\(u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2\)，其中\(E\)是电场强度，\(\epsilon_0\)是真空介电常数。对于球面，电场强度在球面外部为\(E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\)，其中\(Q\)是球面的总电荷量，\(r\)是球面外部的任意一点到球心的距离。因此，带电球面的电场能量为\(W_1 = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}\)，其中\(R\)是球面的半径。
步骤 2：计算带电球体的电场能量
带电球体的电场能量同样可以通过计算电场能量密度的积分得到。对于均匀带电球体，电场能量分布在球体内部和外部。电场强度在球体内部为\(E = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}\)，在球体外部为\(E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\)。因此，带电球体的电场能量为\(W_2 = \frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0 R}\)。
步骤 3：比较带电球面和带电球体的电场能量
比较\(W_1\)和\(W_2\)，可以发现\(W_1 = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}\)和\(W_2 = \frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0 R}\)。由于\(\frac{1}{8} < \frac{3}{20}\)，所以\(W_1 < W_2\)。
带电球面的电场能量可以通过计算电场能量密度的积分得到。对于均匀带电球面，电场能量主要分布在球面外部，因为球面内部电场为零。电场能量密度为\(u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2\)，其中\(E\)是电场强度，\(\epsilon_0\)是真空介电常数。对于球面，电场强度在球面外部为\(E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\)，其中\(Q\)是球面的总电荷量，\(r\)是球面外部的任意一点到球心的距离。因此，带电球面的电场能量为\(W_1 = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}\)，其中\(R\)是球面的半径。
步骤 2：计算带电球体的电场能量
带电球体的电场能量同样可以通过计算电场能量密度的积分得到。对于均匀带电球体，电场能量分布在球体内部和外部。电场强度在球体内部为\(E = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}\)，在球体外部为\(E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\)。因此，带电球体的电场能量为\(W_2 = \frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0 R}\)。
步骤 3：比较带电球面和带电球体的电场能量
比较\(W_1\)和\(W_2\)，可以发现\(W_1 = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}\)和\(W_2 = \frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0 R}\)。由于\(\frac{1}{8} < \frac{3}{20}\)，所以\(W_1 < W_2\)。