4.3 质量为3.0kg的质点受到一个沿x轴正方向的力的作用,已知质点的运动学方程-|||-为 =3t-4(t)^2+(t)^3 (SI单位),试求:-|||-(1)力在最初4.0s内做的功;-|||-(2)在 =1s 时,力的瞬时功率.

考查要点：本题主要考查变力做功的计算和瞬时功率的求解方法，涉及运动学方程的导数应用、动能定理以及功率公式的使用。

解题核心思路：

1. 变力做功：由于力是变力，直接积分计算功较复杂，可优先考虑动能定理，即通过计算动能的变化量求解总功。
2. 瞬时功率：根据公式 $P = F \cdot v$，需先求出特定时刻的力和速度，再计算它们的乘积。

破题关键点：

• 运动学方程求导：通过运动学方程 $x(t)$ 依次求出速度 $v(t)$ 和加速度 $a(t)$。
• 牛顿第二定律：由加速度计算力 $F = ma$。
• 动能定理的应用：明确动能变化 $\Delta KE$ 等于合外力做的功。

第（1）题：最初4.0s内力做的功

求速度表达式

对运动学方程 $x = 3t - 4t^2 + t^3$ 求导得速度：
$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$

计算初末速度

• 初始时刻 $t=0$：
  $v(0) = 3 \, \text{m/s}$
• 时刻 $t=4$：
  $v(4) = 3 - 8 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 = 19 \, \text{m/s}$

应用动能定理

动能变化量为：
$\Delta KE = \frac{1}{2} m \left[ v(4)^2 - v(0)^2 \right] = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (19^2 - 3^2) = 528 \, \text{J}$
因此，力在最初4.0s内做的功为 528 J。

第（2）题：$t=1$ s时的瞬时功率

求加速度表达式

对速度 $v(t)$ 求导得加速度：
$a(t) = \frac{dv}{dt} = -8 + 6t$

计算力的表达式

由牛顿第二定律 $F = ma$：
$F(t) = 3 \cdot (-8 + 6t) = -24 + 18t \, \text{N}$

求$t=1$ s时的力和速度

• 力：
  $F(1) = -24 + 18 \cdot 1 = -6 \, \text{N}$
• 速度：
  $v(1) = 3 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = -2 \, \text{m/s}$

计算瞬时功率

$P = F \cdot v = (-6) \cdot (-2) = 12 \, \text{W}$