12.幂级数sum_(n=0)^infty(x^n)/(2^n)的收敛半径等于（）A. (1)/(2)B. 1C. 2D. +infty

本题考察幂级数收敛半径的计算方法，通常可使用比值审敛法或根值审敛法求解。

步骤1：确定幂级数形式

题目给出的幂级数为$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}}$，可改写为$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n$，这是等比级数的形式，也可直接用收敛半径公式计算。

步骤2：用根值审敛法计算收敛半径

对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，收敛半径$R$的公式为：
$R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$

本题中，$a_n=\frac{1}{2^n}$，则：
$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

因此：
$R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

验证：等比级数的收敛性

原级数$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n$是公比为$q=\frac{x}{2}$的等比级数，当$|q|<1$时收敛，即$\left|\frac{x}{2}\right|<1\implies|x|<2$，故收敛半径为$2$。