设晶格常数为 a 的一维晶格，导带极小值附近能量 E_c(k) 和价带极大值附近能量 E_v(k) 分别为[ E_c(k) = (hbar^2 k^2)/(3 m_0) + (hbar^2 (k - k_1)^2)/(m_0), E_v(k) = (hbar^2 k_1^2)/(6 m_0) - (3 hbar^2 k^2)/(m_0) ]式中，m_0 为电子的惯性质量，k_1 = pi/a，a = 0.314, (nm)。试求：① 禁带宽度；② 导带底电子有效质量；③ 价带顶电子有效质量；④ 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。

考查要点：本题主要考查半导体能带结构中的禁带宽度、有效质量及准动量变化的计算。需要掌握以下关键点：

1. 极值点求解：通过求导找到导带极小值和价带极大值的位置；
2. 有效质量公式：利用能量对波矢$k$的二阶导数计算有效质量；
3. 准动量定义：理解准动量与波矢的关系，并结合能带极值点计算变化量。

解题思路：

1. 禁带宽度：分别求出导带底和价带顶的能量，取差值；
2. 有效质量：在极值点处计算能量的二阶导数，代入公式$m^* = \hbar^2 / \frac{d^2E}{dk^2}$；
3. 准动量变化：通过导带底和价带顶的波矢差计算。

① 禁带宽度

1. 导带底位置：对$E_c(k)$求导并令导数为零：
   $\frac{dE_c}{dk} = \frac{8\hbar^2 k}{3m_0} - \frac{2\hbar^2 k_1}{m_0} = 0 \implies k = \frac{3}{4}k_1$
2. 导带底能量：代入$k = \frac{3}{4}k_1$：
   $E_c = \frac{\hbar^2 k_1^2}{4m_0}$
3. 价带顶位置：对$E_v(k)$求导，极值点在$k=0$；
4. 价带顶能量：
   $E_v = \frac{\hbar^2 k_1^2}{6m_0}$
5. 禁带宽度：
   $E_g = E_c - E_v = \frac{\hbar^2 k_1^2}{12m_0}$

② 导带底有效质量

1. 二阶导数：
   $\frac{d^2E_c}{dk^2} = \frac{8\hbar^2}{3m_0}$
2. 有效质量：
   $m_c^* = \frac{\hbar^2}{\frac{8\hbar^2}{3m_0}} = \frac{3}{8}m_0$

③ 价带顶有效质量

1. 二阶导数：
   $\frac{d^2E_v}{dk^2} = -\frac{6\hbar^2}{m_0}$
2. 有效质量：
   $m_v^* = \frac{\hbar^2}{-\frac{6\hbar^2}{m_0}} = -\frac{m_0}{6}$

④ 准动量变化

1. 波矢差：
   $\Delta k = \frac{3}{4}k_1 - 0 = \frac{3}{4}k_1$
2. 准动量：
   $\Delta p = \hbar \Delta k = \frac{3}{4}\hbar k_1 \approx 7.905 \times 10^{-25} \, \text{kg·m/s}$