题目
9-3-16 如题 9-3-16 图所示,一根半径为R的无限长载流直导体,其中电流I沿轴向流过,-|||-并均匀分布在横截面上,现在导体上有一半径为a的圆柱形空腔,其轴与直导体的轴平行,两轴-|||-相距为b.求:(1)圆柱形导体轴线上任一点的磁感应强度;(2)空腔轴线上任一点的磁感应强度.-|||-2a i-|||-R-|||-b-|||-题 9-3-16 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用安培环路定理
安培环路定理指出，磁场强度沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流乘以真空磁导率。对于无限长载流直导体，磁场强度与距离成反比，即 $B=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi r}$，其中 $r$ 是到导体轴线的距离。
步骤 2：计算圆柱形导体轴线上任一点的磁感应强度
对于圆柱形导体轴线上任一点，该点到导体轴线的距离为 $b$，因此，该点的磁感应强度为 $B_1=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}$。然而，由于存在一个半径为 $a$ 的圆柱形空腔，我们需要考虑空腔对磁场的影响。空腔可以视为一个与导体电流方向相反的电流，其大小为 $I_{\text{空腔}}=\dfrac {Ia^2}{R^2}$，因此，空腔轴线上任一点的磁感应强度为 $B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I_{\text{空腔}}}{2\pi b}=\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}$。因此，圆柱形导体轴线上任一点的磁感应强度为 $B_1-B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}-\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}\left(1-\dfrac {a^2}{R^2}\right)$。
步骤 3：计算空腔轴线上任一点的磁感应强度
对于空腔轴线上任一点，该点到导体轴线的距离为 $b$，因此，该点的磁感应强度为 $B_2=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}$。然而，由于存在一个半径为 $a$ 的圆柱形空腔，我们需要考虑空腔对磁场的影响。空腔可以视为一个与导体电流方向相反的电流，其大小为 $I_{\text{空腔}}=\dfrac {Ia^2}{R^2}$，因此，空腔轴线上任一点的磁感应强度为 $B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I_{\text{空腔}}}{2\pi b}=\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}$。因此，空腔轴线上任一点的磁感应强度为 $B_2-B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}-\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}\left(1-\dfrac {a^2}{R^2}\right)$。
安培环路定理指出，磁场强度沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流乘以真空磁导率。对于无限长载流直导体，磁场强度与距离成反比，即 $B=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi r}$，其中 $r$ 是到导体轴线的距离。
步骤 2：计算圆柱形导体轴线上任一点的磁感应强度
对于圆柱形导体轴线上任一点，该点到导体轴线的距离为 $b$，因此，该点的磁感应强度为 $B_1=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}$。然而，由于存在一个半径为 $a$ 的圆柱形空腔，我们需要考虑空腔对磁场的影响。空腔可以视为一个与导体电流方向相反的电流，其大小为 $I_{\text{空腔}}=\dfrac {Ia^2}{R^2}$，因此，空腔轴线上任一点的磁感应强度为 $B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I_{\text{空腔}}}{2\pi b}=\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}$。因此，圆柱形导体轴线上任一点的磁感应强度为 $B_1-B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}-\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}\left(1-\dfrac {a^2}{R^2}\right)$。
步骤 3：计算空腔轴线上任一点的磁感应强度
对于空腔轴线上任一点，该点到导体轴线的距离为 $b$，因此，该点的磁感应强度为 $B_2=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}$。然而，由于存在一个半径为 $a$ 的圆柱形空腔，我们需要考虑空腔对磁场的影响。空腔可以视为一个与导体电流方向相反的电流，其大小为 $I_{\text{空腔}}=\dfrac {Ia^2}{R^2}$，因此，空腔轴线上任一点的磁感应强度为 $B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I_{\text{空腔}}}{2\pi b}=\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}$。因此，空腔轴线上任一点的磁感应强度为 $B_2-B_{\text{空腔}}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}-\dfrac {\mu_0 Ia^2}{2\pi bR^2}=\dfrac {\mu_0 I}{2\pi b}\left(1-\dfrac {a^2}{R^2}\right)$。