题目
无限长直导线，通以常定电流I，有一与之共面的直角三角形线圈ABC。已知AC边长为b，且与长直导线平行，BC边长为a。若线圈以垂直于导线方向的速度⇀v向右平移，当B点与长直导线的距离为d时，求线圈ABC内的感应电动势的大小和感应电动势的方向。A-|||-c b ü-|||-B
无限长直导线，通以常定电流I，有一与之共面的直角三角形线圈ABC。已知AC边长为b，且与长直导线平行，BC边长为a。若线圈以垂直于导线方向的速度向右平移，当B点与长直导线的距离为d时，求线圈ABC内的感应电动势的大小和感应电动势的方向。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布
无限长直导线产生的磁场分布可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线r处的磁场强度为：$B=\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}$，其中${\mu}_0$是真空磁导率，I是导线中的电流，r是到导线的距离。
步骤 2：计算磁通量
直角三角形线圈ABC的面积可以分为两部分：AC边和斜边AB。AC边与长直导线平行，因此AC边上的磁通量为零。斜边AB上的磁通量可以通过积分计算，斜边AB的方程为：$y=(bx/a)-br/a$，其中r是t时刻B点与长直导线的距离。因此，磁通量$\phi$为：$\phi=\int_{r}^{r+a}BdA=\int_{r}^{r+a}\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}bdy$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$\varepsilon$为：$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}$。将磁通量$\phi$代入，得到：$\varepsilon=-\dfrac{d}{dt}\int_{r}^{r+a}\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}bdy$。由于线圈以垂直于导线方向的速度$\vec{v}$向右平移，因此$\dfrac{dr}{dt}=-v$。将$\dfrac{dr}{dt}$代入，得到：$\varepsilon=\dfrac{{\mu}_0Ib}{2\pi d}(\ln\dfrac{a+r}{r}-\dfrac{a}{a+r})v$。当r=d时，$\varepsilon=\dfrac{{\mu}_0Ib}{2\pi a}(\ln\dfrac{a+d}{d}-\dfrac{a}{a+d})v$。
步骤 4：确定感应电动势的方向
根据楞次定律，感应电动势的方向与线圈中电流的方向相反。因此，感应电动势的方向为ACBA（即顺时针）。
无限长直导线产生的磁场分布可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线r处的磁场强度为：$B=\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}$，其中${\mu}_0$是真空磁导率，I是导线中的电流，r是到导线的距离。
步骤 2：计算磁通量
直角三角形线圈ABC的面积可以分为两部分：AC边和斜边AB。AC边与长直导线平行，因此AC边上的磁通量为零。斜边AB上的磁通量可以通过积分计算，斜边AB的方程为：$y=(bx/a)-br/a$，其中r是t时刻B点与长直导线的距离。因此，磁通量$\phi$为：$\phi=\int_{r}^{r+a}BdA=\int_{r}^{r+a}\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}bdy$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$\varepsilon$为：$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}$。将磁通量$\phi$代入，得到：$\varepsilon=-\dfrac{d}{dt}\int_{r}^{r+a}\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}bdy$。由于线圈以垂直于导线方向的速度$\vec{v}$向右平移，因此$\dfrac{dr}{dt}=-v$。将$\dfrac{dr}{dt}$代入，得到：$\varepsilon=\dfrac{{\mu}_0Ib}{2\pi d}(\ln\dfrac{a+r}{r}-\dfrac{a}{a+r})v$。当r=d时，$\varepsilon=\dfrac{{\mu}_0Ib}{2\pi a}(\ln\dfrac{a+d}{d}-\dfrac{a}{a+d})v$。
步骤 4：确定感应电动势的方向
根据楞次定律，感应电动势的方向与线圈中电流的方向相反。因此，感应电动势的方向为ACBA（即顺时针）。