题目

3.[判断题] 判断:在xOy坐标面内，有一半径为R、密度均匀的圆板，在板的中心(即形心)垂线上有一质量为m的质点且与形心的距离为r，则该圆板对质点的引力为 |F|=(GmM)/(r^2)， 这里G为万有引力常数，M为圆板的质量。( ) A 对 B 错

3.[判断题] 判断:在xOy坐标面内，有一半径为R、密度均匀的圆板，在板的中心(即形心)垂线上有一质量为m的质点且与形心的距离为r，则该圆板对质点的引力为 $\left|F\right|=\frac{GmM}{r^{2}}$， 这里G为万有引力常数，M为圆板的质量。( ) A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断给定的圆板对质点的引力表达式是否正确，我们需要考虑万有引力定律和圆板的几何形状与质量分布。 万有引力定律表明，两个质量 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 之间的引力 $ F $ 由下式给出： \[ F = G \frac{m_1 m_2}{d^2} \] 其中 $ G $ 是万有引力常数，$ d $ 是两个质量之间的距离。 在本问题中，我们有一个半径为 $ R $、密度均匀的圆板，以及一个质量为 $ m $ 的质点，该质点位于板的中心垂线上，与形心的距离为 $ r $。圆板的质量为 $ M $。 为了找到圆板对质点的总引力，我们需要考虑圆板的对称性。由于圆板是_symmetric_的，且质点位于其中心垂线上，圆板对质点的引力将沿着垂线方向。圆板的每一小部分对质点的引力将有一个沿着垂线方向的分量和一个垂直于垂线方向的分量。由于对称性，垂直分量将相互抵消，只有沿着垂线方向的分量将对总引力有贡献。 让我们考虑圆板上一个半径为 $ \rho $、宽度为 $ d\rho $ 的小环。这个环的质量为 $ dm = \frac{M}{\pi R^2} \cdot 2\pi \rho \, d\rho = \frac{2M\rho \, d\rho}{R^2} $。 这个环对质点的引力为： \[ dF = G \frac{m \, dm}{d^2} \] 其中 $ d $ 是质点到环上一小微元的距离。由于环在中心垂线上，距离 $ d $ 为： \[ d = \sqrt{r^2 + \rho^2} \] 这个环对质点的引力的沿着垂线方向的分量为： \[ dF_z = dF \cos \theta = G \frac{m \, dm}{d^2} \cdot \frac{r}{d} = G \frac{m \, dm \, r}{(r^2 + \rho^2)^{3/2}} \] 将 $ dm $ 代入表达式中，我们得到： \[ dF_z = G \frac{m \cdot \frac{2M\rho \, d\rho}{R^2} \cdot r}{(r^2 + \rho^2)^{3/2}} = \frac{2GMmr}{R^2} \frac{\rho \, d\rho}{(r^2 + \rho^2)^{3/2}} \] 为了找到总引力，我们对圆板的整个面积进行积分： \[ F_z = \int_0^R \frac{2GMmr}{R^2} \frac{\rho \, d\rho}{(r^2 + \rho^2)^{3/2}} \] 设 $ u = r^2 + \rho^2 $。则 $ du = 2\rho \, d\rho $，积分变为： \[ F_z = \frac{GMmr}{R^2} \int_{r^2}^{r^2+R^2} \frac{du}{u^{3/2}} = \frac{GMmr}{R^2} \left[ -\frac{2}{\sqrt{u}} \right]_{r^2}^{r^2+R^2} = \frac{GMmr}{R^2} \left( -\frac{2}{\sqrt{r^2+R^2}} + \frac{2}{r} \right) = \frac{2GMmr}{R^2} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2+R^2}} \right) \] 对于 $ r \gg R $，项 $ \frac{1}{\sqrt{r^2+R^2}} \approx \frac{1}{r} $，所以括号内的表达式大约为： \[ \frac{1}{r} - \frac{1}{r} + \frac{R^2}{2r^3} = \frac{R^2}{2r^3} \] 因此，总引力为： \[ F_z \approx \frac{2GMmr}{R^2} \cdot \frac{R^2}{2r^3} = \frac{GMm}{r^2} \] 然而，对于任何 $ r $，精确的表达式为： \[ F_z = \frac{2GMmr}{R^2} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2+R^2}} \right) \] 给定的表达式 $ \left|F\right| = \frac{GmM}{r^2} $ 只在 $ r \gg R $ 时近似成立，但对所有 $ r $ 并不精确。因此，该陈述是错误的。 答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

本题考查万有引力定律以及利用积分计算连续质量分布物体间的引力。解题思路是先根据圆板的对称性分析引力方向，再将圆板分割成许多小环，计算每个小环对质点的引力沿垂线方向的分量，最后通过积分求出整个圆板对质点的引力，并与给定表达式进行比较。

  1. 分析圆板对质点引力的方向：
    • 由于圆板密度均匀且关于中心对称，质点位于板的中心垂线上，根据对称性可知，圆板对质点的引力沿垂线方向，垂直于垂线方向的引力分量相互抵消。
  2. 计算小环对质点的引力及沿垂线方向的分量：
    • 考虑圆板上半径为$\rho$、宽度为$d\rho$的小环，其面积为$dS = 2\pi\rho d\rho$。
    • 已知圆板质量为$M$，圆板面积为$S=\pi R^{2}$，则圆板的面密度为$\sigma=\frac{M}{\pi R^{2}}$，所以小环的质量为$dm = \sigma dS=\frac{M}{\pi R^{2}}\cdot 2\pi \rho \, d\rho = \frac{2M\rho \, d\rho}{R^{2}}$。
    • 质点到环上一小微元的距离为$d = \sqrt{r^{2} + \rho^{2}}$，根据万有引力定律，小环对质点的引力为$dF = G\frac{m \, dm}{d^{2}}=G\frac{m\cdot\frac{2M\rho \, d\rho}{R^{2}}}{r^{2} + \rho^{2}}$。
    • 设引力方向与垂线方向夹角为$\theta$，$\cos\theta=\frac{r}{d}=\frac{r}{\sqrt{r^{2} + \rho^{2}}}$，则小环对质点的引力沿垂线方向的分量为$dF_z = dF\cos\theta = G\frac{m\cdot\frac{2M\rho \, d\rho}{R^{2}}}{r^{2} + \rho^{2}}\cdot\frac{r}{\sqrt{r^{2} + \rho^{2}}}=G\frac{m\cdot\frac{2M\rho \, d\rho}{R^{2}}\cdot r}{(r^{2} + \rho^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{2GMmr}{R^{2}}\frac{\rho \, d\rho}{(r^{2} + \rho^{2})^{\frac{3}{2}}}$。
  3. 对整个圆板积分求总引力：
    • 对圆板的整个面积进行积分，即$F_z = \int_{0}^{R}\frac{2GMmr}{R^{2}}\frac{\rho \, d\rho}{(r^{2} + \rho^{2})^{\frac{3}{2}}}$。
    • 令$u = r^{2} + \rho^{2}$，则$du = 2\rho \, d\rho$。当$\rho = 0$时，$u = r^{2}$；当$\rho = R$时，$u = r^{2}+R^{2}$。
    • 积分变为$F_z = \frac{GMmr}{R^{2}}\int_{r^{2}}^{r^{2}+R^{2}}\frac{du}{u^{\frac{3}{2}}}$。
    • 根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{r^{2}}^{r^{2}+R^{2}}\frac{du}{u^{\frac{3}{2}}}=\int_{r^{2}}^{r^{2}+R^{2}}u^{-\frac{3}{2}}du=\left[-\frac{2}{\sqrt{u}}\right]_{r^{2}}^{r^{2}+R^{2}}=-\frac{2}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}+\frac{2}{r}$。
    • 所以$F_z = \frac{GMmr}{R^{2}}\left(-\frac{2}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}+\frac{2}{r}\right)=\frac{2GMmr}{R^{2}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\right)$。
  4. 与给定表达式比较：
    • 给定的表达式为$\vert F\vert=\frac{GmM}{r^{2}}$，而我们计算得到的精确表达式为$F_z = \frac{2GMmr}{R^{2}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\right)$，只有当$r\gg R$时，$\frac{1}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\approx\frac{1}{r}$，此时$F_z\approx\frac{GmM}{r^{2}}$，但对于任意的$r$，两者并不相等。