亥姆霍兹定理表明A. 任意矢量场可以表示为一个无旋场和一个无散场之和B. 矢量场的散度和旋度特性是研究矢量场的首要问题C. 有限空间中矢量场被其源和边界条件唯一确定D. 任意矢量场可以表示为一个梯度场和一个旋度场的和

亥姆霍兹定理是矢量场理论中的核心定理之一，其核心思想是将任意矢量场分解为无旋场和无散场的叠加，并强调场的唯一性。本题需明确以下关键点：

1. 分解形式：矢量场可表示为标量场的梯度（无旋）和矢量场的旋度（无散）之和；
2. 唯一性条件：在有限空间中，矢量场由其源（散度、旋度）和边界条件唯一确定；
3. 定理的综合表述：需区分定理本身的内容与相关方法论（如选项B）。

选项分析

选项A

正确。亥姆霍兹定理指出，任意矢量场可分解为无旋场（梯度场）和无散场（旋度场）之和。梯度场无旋（旋度为0），旋度场无散（散度为0）。

选项B

错误。该选项描述的是研究矢量场的一般思路，而非亥姆霍兹定理的具体内容。定理的核心是分解与唯一性，而非单纯强调散度和旋度的重要性。

选项C

正确。在有限空间中，矢量场的源（散度、旋度）和边界条件共同决定了场的唯一性。这是亥姆霍兹定理与唯一性定理结合后的推论。

选项D

正确。定理直接表述为：矢量场可表示为标量场的梯度和矢量场的旋度之和，与选项D完全一致。