题目
7.一个质量为μ的粒子处于 leqslant xleqslant a 的无限深方势阱中, t=0 时,-|||-归一化波函数为-|||-varphi (x,0)=sqrt (dfrac {8)(5a)}(1+cos dfrac (pi x)(a))sin dfrac (pi x)(a)-|||-求 (1)在后来任意时刻t的波函数;-|||-(2)在 t=0 与任意t时刻的粒子平均能量;-|||-(3)在任意t时刻粒子处于 leqslant xleqslant a/2 的几率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波函数的展开形式
给定的波函数 $\varphi (x,0)=\sqrt {\dfrac {8}{5a}}(1+\cos \dfrac {\pi x}{a})\sin \dfrac {\pi x}{a}$ 可以通过傅里叶级数展开成无限深方势阱的本征函数的线性组合。无限深方势阱的本征函数为 $\varphi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)$，其中 $n=1,2,3,...$。因此，我们可以将 $\varphi (x,0)$ 展开为：
$$\varphi (x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\varphi_n(x)$$
其中 $c_n$ 是展开系数，可以通过内积计算得到：
$$c_n=\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi(x,0)dx$$
步骤 2：计算展开系数
将 $\varphi (x,0)$ 和 $\varphi_n(x)$ 代入上述公式，计算 $c_n$：
$$c_n=\int_0^a\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)\sqrt {\dfrac {8}{5a}}(1+\cos \dfrac {\pi x}{a})\sin \dfrac {\pi x}{a}dx$$
通过计算，可以得到 $c_1=\sqrt{\dfrac{4}{5}}$，$c_3=\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，其余 $c_n=0$。
步骤 3：写出任意时刻的波函数
根据量子力学，任意时刻的波函数为：
$$\varphi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\varphi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$$
其中 $E_n=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\mu a^2}$ 是能量本征值。将 $c_1$ 和 $c_3$ 代入，得到：
$$\varphi(x,t)=\sqrt{\dfrac{4}{5}}\varphi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar}+\sqrt{\dfrac{1}{5}}\varphi_3(x)e^{-iE_3t/\hbar}$$
步骤 4：计算平均能量
平均能量为：
$$\langle E\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2E_n$$
将 $c_1$ 和 $c_3$ 代入，得到：
$$\langle E\rangle=\dfrac{4}{5}E_1+\dfrac{1}{5}E_3=\dfrac{4\pi^2\hbar^2}{5\mu a^2}$$
步骤 5：计算粒子处于 $0\leqslant x\leqslant a/2$ 的几率
几率为：
$$P=\int_0^{a/2}|\varphi(x,t)|^2dx$$
将 $\varphi(x,t)$ 代入，得到：
$$P=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{15}\cos\left(\dfrac{3\pi^2\hbar t}{2\mu a^2}\right)$$
给定的波函数 $\varphi (x,0)=\sqrt {\dfrac {8}{5a}}(1+\cos \dfrac {\pi x}{a})\sin \dfrac {\pi x}{a}$ 可以通过傅里叶级数展开成无限深方势阱的本征函数的线性组合。无限深方势阱的本征函数为 $\varphi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)$，其中 $n=1,2,3,...$。因此，我们可以将 $\varphi (x,0)$ 展开为：
$$\varphi (x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\varphi_n(x)$$
其中 $c_n$ 是展开系数，可以通过内积计算得到：
$$c_n=\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi(x,0)dx$$
步骤 2：计算展开系数
将 $\varphi (x,0)$ 和 $\varphi_n(x)$ 代入上述公式，计算 $c_n$：
$$c_n=\int_0^a\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)\sqrt {\dfrac {8}{5a}}(1+\cos \dfrac {\pi x}{a})\sin \dfrac {\pi x}{a}dx$$
通过计算，可以得到 $c_1=\sqrt{\dfrac{4}{5}}$，$c_3=\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，其余 $c_n=0$。
步骤 3：写出任意时刻的波函数
根据量子力学，任意时刻的波函数为：
$$\varphi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\varphi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$$
其中 $E_n=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\mu a^2}$ 是能量本征值。将 $c_1$ 和 $c_3$ 代入，得到：
$$\varphi(x,t)=\sqrt{\dfrac{4}{5}}\varphi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar}+\sqrt{\dfrac{1}{5}}\varphi_3(x)e^{-iE_3t/\hbar}$$
步骤 4：计算平均能量
平均能量为：
$$\langle E\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2E_n$$
将 $c_1$ 和 $c_3$ 代入，得到：
$$\langle E\rangle=\dfrac{4}{5}E_1+\dfrac{1}{5}E_3=\dfrac{4\pi^2\hbar^2}{5\mu a^2}$$
步骤 5：计算粒子处于 $0\leqslant x\leqslant a/2$ 的几率
几率为：
$$P=\int_0^{a/2}|\varphi(x,t)|^2dx$$
将 $\varphi(x,t)$ 代入，得到：
$$P=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{15}\cos\left(\dfrac{3\pi^2\hbar t}{2\mu a^2}\right)$$