题目
设C是n阶非对称矩阵,则下列矩阵为对称矩阵的个数为____C+C^T,C-C^T,CC^T,CC^T-C^TC.
设C是n阶非对称矩阵,则下列矩阵为对称矩阵的个数为____
$C+C^{T}$,$C-C^{T}$,$CC^{T}$,$CC^{T}-C^{T}C$.
题目解答
答案
为了确定给定的矩阵中哪些是对称矩阵,我们需要分析每个矩阵的转置,并检查它是否等于原矩阵。让我们逐一考虑每个矩阵。
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矩阵 $C + C^T$:
$(C + C^T)^T = C^T + (C^T)^T = C^T + C = C + C^T$
由于 $(C + C^T)^T = C + C^T$,矩阵 $C + C^T$ 是对称的。 -
矩阵 $C - C^T$:
$(C - C^T)^T = C^T - (C^T)^T = C^T - C = -(C - C^T)$
由于 $(C - C^T)^T = -(C - C^T)$,矩阵 $C - C^T$ 是反对称的,而不是对称的。 -
矩阵 $CC^T$:
$(CC^T)^T = (C^T)^T C^T = CC^T$
由于 $(CC^T)^T = CC^T$,矩阵 $CC^T$ 是对称的。 -
矩阵 $CC^T - C^T C$:
$(CC^T - C^T C)^T = (CC^T)^T - (C^T C)^T = CC^T - C^T C$
由于 $(CC^T - C^T C)^T = CC^T - C^T C$,矩阵 $CC^T - C^T C$ 是对称的。
从上述分析中,我们看到矩阵 $C + C^T$,$CC^T$,和 $CC^T - C^T C$ 是对称的。矩阵 $C - C^T$ 不是对称的。
因此,给定矩阵中对称矩阵的个数为 $\boxed{3}$。