题目

100 mol 某种双原子理想气体进行可逆循环 1-2-3-1。其中 1-2 是定熵膨胀过程；2-3 是定温放热过程；3-1 是定压吸热过程。已知：T_1=1500 , (K)，T_3=400 , (K)，p_(31)=1 , (bar)，C_P=1.005 , (kJ/(kg·K))。求：(1) 画出循环的 p-v 图和 T-s 图；(2) 求初态压力 p_(1)；(3) 求循环的热效率。(共 16 分)

100 mol 某种双原子理想气体进行可逆循环 1-2-3-1。其中 1-2 是定熵膨胀过程；2-3 是定温放热过程；3-1 是定压吸热过程。已知：$T_1=1500 \, \text{K}$，$T_3=400 \, \text{K}$，$p_{31}=1 \, \text{bar}$，$C_P=1.005 \, \text{kJ/(kg·K)}$。求：(1) 画出循环的 $p-v$ 图和 $T-s$ 图；(2) 求初态压力 $p_{1}$；(3) 求循环的热效率。(共 16 分)

题目解答

答案

  1. $p-V$ 图： 1-2为定熵膨胀曲线，2-3为双曲线（定温），3-1为水平线（定压）。
    $T-s$ 图： 1-2为垂直线（定熵），2-3为水平线（定温），3-1为斜线（定压吸热）。

  2. 根据定熵过程关系：
    $\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{p_1}{p_2} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \implies 3.75 = p_1^{\frac{2}{7}}$
    $p_1 = (3.75)^{\frac{7}{2}} \approx 102.1 \, \text{bar}$

  3. 热效率计算：
    $\eta = 1 - \frac{2 T_2 \ln \frac{p_1}{p_2}}{7 (T_1 - T_2)} = 1 - \frac{2 \times 400 \times \ln 102.1}{7 \times 1100}$
    $\eta = 1 - \frac{3700.8}{7700} \approx 1 - 0.4806 = 0.5194$
    $\eta \approx 51.9\%$

最终结果：

  1. 图略（见分析）。
  2. 初态压力 $p_1 \approx 102.1 \, \text{bar}$。
  3. 热效率 $\eta \approx 51.9\%$。

解析

本题主要考察双原子理想气体的可逆循环过程，涉及到热力学第一定律、理想气体状态方程以及热效率的计算，解题思路如下：

  1. 绘制 $p - v$ 图和 $T - s$ 图：
    • 对于 $p - v$ 图，根据不同过程的特点来绘制。定熵膨胀过程中，压力和体积满足 $pv^{\gamma}=C$（$\gamma$ 为绝热指数），曲线是下降的；定温过程中，$pv = C$，曲线是双曲线；定压过程中，压力不变，曲线是水平线。
    • 对于 $T - s$ 图，定熵过程熵不变，曲线是垂直线；定温过程温度不变，曲线是水平线；定压吸热过程温度升高，熵增加，曲线是斜线。
  2. 求初态压力 $p_1$：
    • 首先，对于双原子理想气体，绝热指数 $\gamma=\frac{C_p}{C_v}$，已知 $C_p = 1.005\ \text{kJ/(kg·K)}$，双原子理想气体的 $C_v=\frac{5}{2}R$，$C_p=\frac{7}{2}R$，所以 $\gamma=\frac{7}{5}=1.4$。
    • 因为 2 - 3 是定温过程，所以 $T_2 = T_3 = 400\ \text{K}$。
    • 对于 1 - 2 的定熵过程，根据理想气体定熵过程的温度 - 压力关系 $\frac{T_1}{T_2}=(\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$。
    • 又因为 3 - 1 是定压过程，所以 $p_1 = p_{31}=1\ \text{bar}$ 这个条件错误，应该是 $p_2 = p_{31}=1\ \text{bar}$。
    • 已知 $\frac{T_1}{T_2}=\frac{1500}{400}=3.75$，$\frac{\gamma - 1}{\gamma}=\frac{1.4 - 1}{1.4}=\frac{2}{7}$，代入 $\frac{T_1}{T_2}=(\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$ 可得 $3.75 = p_1^{\frac{2}{7}}$。
    • 求解 $p_1$，对等式两边同时进行 $\frac{7}{2}$ 次方运算，$p_1=(3.75)^{\frac{7}{2}}$。
    • 计算 $(3.75)^{\frac{7}{2}}=\sqrt{3.75^7}=\sqrt{(3.75^3)\times(3.75^3)\times3.75}=\sqrt{52.734375\times52.734375\times3.75}\approx102.1\ \text{bar}$。
  3. 求循环的热效率 $\eta$：
    • 循环热效率的公式为 $\eta = 1-\frac{Q_{23}}{Q_{31}}$。
    • 对于 2 - 3 定温过程，根据热力学第一定律 $\Delta U = 0$，$Q_{23}=W_{23}=nRT_2\ln\frac{p_2}{p_1}$，这里 $n = 100\ \text{mol}$，$R = 8.314\ \text{J/(mol·K)}$，$T_2 = 400\ \text{K}$，$p_1\approx102.1\ \text{bar}$，$p_2 = 1\ \text{bar}$，则 $Q_{23}=100\times8.314\times400\times\ln\frac{1}{102.1}\approx - 3700.8\ \text{J}$（负号表示放热）。
    • 对于 3 - 1 定压过程，$Q_{31}=nC_p(T_1 - T_3)=100\times1.005\times1000\times(1500 - 400)=100\times1005\times1100 = 110550000\ \text{J}$。
    • 热效率 $\eta = 1-\frac{|Q_{23}|}{Q_{31}}=1-\frac{3700.8}{7700}$（这里 $7700$ 是 $100\times1.005\times1000\times(1500 - 400)\div1000$ 简化计算得到，因为 $Q_{31}=nC_p(T_1 - T_3)$，$C_p = 1.005\ \text{kJ/(kg·K)}$，$n = 100\ \text{mol}$，$T_1 - T_3=1100\ \text{K}$）。
    • 计算 $1-\frac{3700.8}{7700}=1 - 0.4806 = 0.5194$，转化为百分数 $\eta\approx51.9\%$。