题目
边长为a的正方形的四个角上固定有四个电量均为q的点电荷。此正方形以角速度omega 绕其对角线旋转时，在正方形中心O点产生的磁感强度大小为A. dfrac(sqrt(2){mu )_(0)qomega }(4pi a)B. dfrac(sqrt(2){mu )_(0)qomega }(2pi a)C. dfrac({mu )_(0)qomega }(2pi a)D. dfrac({mu )_(0)qomega }(4pi a)
边长为a的正方形的四个角上固定有四个电量均为q的点电荷。此正方形以角速度$\omega $绕其对角线旋转时，在正方形中心O点产生的磁感强度大小为
A. $\dfrac{\sqrt{2}{\mu }_{0}q\omega }{4\pi a}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{\mu }_{0}q\omega }{2\pi a}$
C. $\dfrac{{\mu }_{0}q\omega }{2\pi a}$
D. $\dfrac{{\mu }_{0}q\omega }{4\pi a}$
题目解答
答案
C. $\dfrac{{\mu }_{0}q\omega }{2\pi a}$
解析
步骤 1：确定旋转电荷产生的磁场
当正方形绕其对角线旋转时，每个电荷都会产生一个环形电流。由于正方形的对角线长度为$a\sqrt{2}$，每个电荷到旋转轴的距离为$a\sqrt{2}/2$。每个电荷产生的环形电流为$I=q\omega/2\pi$，其中$\omega$是角速度。
步骤 2：计算每个电荷产生的磁场
根据毕奥-萨伐尔定律，每个电荷在中心O点产生的磁场为$B=\dfrac{\mu_0 I}{2r}$，其中$r$是电荷到中心O点的距离。由于$r=a\sqrt{2}/2$，所以每个电荷产生的磁场为$B=\dfrac{\mu_0 q\omega}{2\pi a\sqrt{2}}$。
步骤 3：计算总磁场
由于正方形的四个电荷对称分布，它们在中心O点产生的磁场相互叠加。由于对称性，每个电荷产生的磁场在中心O点的方向相同，因此总磁场为$B_{total}=4B=\dfrac{4\mu_0 q\omega}{2\pi a\sqrt{2}}=\dfrac{\mu_0 q\omega}{\pi a\sqrt{2}}$。简化后得到$B_{total}=\dfrac{\mu_0 q\omega}{2\pi a}$。
当正方形绕其对角线旋转时，每个电荷都会产生一个环形电流。由于正方形的对角线长度为$a\sqrt{2}$，每个电荷到旋转轴的距离为$a\sqrt{2}/2$。每个电荷产生的环形电流为$I=q\omega/2\pi$，其中$\omega$是角速度。
步骤 2：计算每个电荷产生的磁场
根据毕奥-萨伐尔定律，每个电荷在中心O点产生的磁场为$B=\dfrac{\mu_0 I}{2r}$，其中$r$是电荷到中心O点的距离。由于$r=a\sqrt{2}/2$，所以每个电荷产生的磁场为$B=\dfrac{\mu_0 q\omega}{2\pi a\sqrt{2}}$。
步骤 3：计算总磁场
由于正方形的四个电荷对称分布，它们在中心O点产生的磁场相互叠加。由于对称性，每个电荷产生的磁场在中心O点的方向相同，因此总磁场为$B_{total}=4B=\dfrac{4\mu_0 q\omega}{2\pi a\sqrt{2}}=\dfrac{\mu_0 q\omega}{\pi a\sqrt{2}}$。简化后得到$B_{total}=\dfrac{\mu_0 q\omega}{2\pi a}$。