[单选题]如图所示,杆长位l,质量m1,圆盘直径d,质量m2,则顶点系对点O的转动惯量为()。dfrac (1)(3)(m)_(1)(l)^2+(m)_(2)(dfrac (3)(8)(d)^2+(l)^2+ld)B dfrac (1)(3)(m)_(1)(l)^2+(m)_(2)(dfrac (3)(8)(d)^2+(l)^2+ld)C dfrac (1)(3)(m)_(1)(l)^2+(m)_(2)(dfrac (3)(8)(d)^2+(l)^2+ld)
[单选题]如图所示,杆长位l,质量m1,圆盘直径d,质量m2,则顶点系对点O的转动惯量为()。
B 
C 
题目解答
答案
1. 转动惯量的定义
物体绕轴的转动惯量定义为：
其中：
mi 为质点的质量；
ri 为质点到旋转轴的距离。
对于复合系统，转动惯量为各部分转动惯量的总和。
2. 杆的转动惯量
杆的质量为 m1 ，长度为 l ，绕其一端 O 转动。
根据转动惯量公式，均匀杆绕端点的转动惯量为：
3. 圆盘的转动惯量
圆盘的质量为 m2 ，半径为 d ，圆盘的中心到转动轴的距离为 
。
圆盘的转动惯量分两部分：
1. 绕圆盘中心的转动惯量：
2. 平移至旋转轴的转动惯量（平行轴定理）：
圆盘的总转动惯量为：
4. 总转动惯量
系统的总转动惯量为杆和圆盘的转动惯量之和：
代入已知表达式：
展开圆盘的平移项：
因此：
整理后：
答案
A
解析
考查要点：本题主要考查转动惯量的计算，涉及均匀细杆绕端点的转动惯量和圆盘绕轴的转动惯量，需要结合平行轴定理进行综合计算。
解题核心思路：
- 分解系统：将复合系统拆分为杆和圆盘两部分，分别计算各自的转动惯量。
- 杆的转动惯量：直接应用均匀细杆绕端点的转动惯量公式。
- 圆盘的转动惯量：先计算圆盘绕自身中心的转动惯量，再通过平行轴定理平移至实际旋转轴。
- 总转动惯量：将两部分的转动惯量相加。
破题关键点：
- 杆的转动惯量公式：$\dfrac{1}{3}m_1 l^2$。
- 圆盘的转动惯量：需分两步计算，绕中心的转动惯量为$\dfrac{1}{2}m_2 r^2$（$r = \dfrac{d}{2}$），再通过平行轴定理平移至距离$l + \dfrac{d}{2}$处。
杆的转动惯量
杆绕端点O的转动惯量为：
$I_{\text{杆}} = \dfrac{1}{3}m_1 l^2$
圆盘的转动惯量
-
绕中心的转动惯量：
圆盘半径$r = \dfrac{d}{2}$，绕中心的转动惯量为：
$I_{\text{中心}} = \dfrac{1}{2}m_2 r^2 = \dfrac{1}{2}m_2 \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{8}m_2 d^2$ -
平移至旋转轴：
圆盘中心到O点的距离为$l + \dfrac{d}{2}$，根据平行轴定理：
$I_{\text{平移}} = m_2 \left(l + \dfrac{d}{2}\right)^2 = m_2 \left(l^2 + l d + \dfrac{d^2}{4}\right)$ -
总转动惯量：
圆盘的总转动惯量为：
$I_{\text{圆盘}} = \dfrac{1}{8}m_2 d^2 + m_2 \left(l^2 + l d + \dfrac{d^2}{4}\right) = m_2 \left(\dfrac{3}{8}d^2 + l^2 + l d\right)$
总转动惯量
将杆和圆盘的转动惯量相加：
$I_{\text{总}} = \dfrac{1}{3}m_1 l^2 + m_2 \left(\dfrac{3}{8}d^2 + l^2 + l d\right)$