题目
如图所示,光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,-|||-其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v0.求:(1)t时刻物体的速率.(2)当物体速率从v0减少到-|||-dfrac (20)(2) 时,物体所经历的时间及经过的路程.-|||-v0 e1-|||-F-|||-F-|||-e-|||-0-|||-习题 2-21 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体的运动方程
物体在圆环内侧作圆周运动，受到的摩擦力为 $F_{f} = \mu F_{N}$，其中 $F_{N}$ 是法向力，等于 $m\dfrac{v^2}{R}$。根据牛顿第二定律，有 $F_{f} = -m\dfrac{dv}{dt}$，即 $\mu m\dfrac{v^2}{R} = -m\dfrac{dv}{dt}$。简化后得到 $\dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{\mu v^2}{R}$。
步骤 2：求解速率随时间的变化
将上式分离变量并积分，得到 $\int_{v_0}^{v} \dfrac{dv}{v^2} = -\dfrac{\mu}{R} \int_{0}^{t} dt$。积分后得到 $-\dfrac{1}{v} + \dfrac{1}{v_0} = -\dfrac{\mu t}{R}$，从而得到 $v = \dfrac{v_0}{1 + \dfrac{\mu v_0 t}{R}}$。
步骤 3：求解物体速率从 $v_0$ 减少到 $\dfrac{v_0}{2}$ 时的时间
将 $v = \dfrac{v_0}{2}$ 代入上式，得到 $\dfrac{v_0}{2} = \dfrac{v_0}{1 + \dfrac{\mu v_0 t}{R}}$，解得 $t = \dfrac{R}{\mu v_0}$。
步骤 4：求解物体速率从 $v_0$ 减少到 $\dfrac{v_0}{2}$ 时的路程
物体的路程 $s$ 可以通过积分速率随时间的变化得到，即 $s = \int_{0}^{t} v dt = \int_{0}^{t} \dfrac{v_0}{1 + \dfrac{\mu v_0 t}{R}} dt$。代入 $t = \dfrac{R}{\mu v_0}$，得到 $s = \dfrac{R}{\mu} \ln 2$。
物体在圆环内侧作圆周运动，受到的摩擦力为 $F_{f} = \mu F_{N}$，其中 $F_{N}$ 是法向力，等于 $m\dfrac{v^2}{R}$。根据牛顿第二定律，有 $F_{f} = -m\dfrac{dv}{dt}$，即 $\mu m\dfrac{v^2}{R} = -m\dfrac{dv}{dt}$。简化后得到 $\dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{\mu v^2}{R}$。
步骤 2：求解速率随时间的变化
将上式分离变量并积分，得到 $\int_{v_0}^{v} \dfrac{dv}{v^2} = -\dfrac{\mu}{R} \int_{0}^{t} dt$。积分后得到 $-\dfrac{1}{v} + \dfrac{1}{v_0} = -\dfrac{\mu t}{R}$，从而得到 $v = \dfrac{v_0}{1 + \dfrac{\mu v_0 t}{R}}$。
步骤 3：求解物体速率从 $v_0$ 减少到 $\dfrac{v_0}{2}$ 时的时间
将 $v = \dfrac{v_0}{2}$ 代入上式，得到 $\dfrac{v_0}{2} = \dfrac{v_0}{1 + \dfrac{\mu v_0 t}{R}}$，解得 $t = \dfrac{R}{\mu v_0}$。
步骤 4：求解物体速率从 $v_0$ 减少到 $\dfrac{v_0}{2}$ 时的路程
物体的路程 $s$ 可以通过积分速率随时间的变化得到，即 $s = \int_{0}^{t} v dt = \int_{0}^{t} \dfrac{v_0}{1 + \dfrac{\mu v_0 t}{R}} dt$。代入 $t = \dfrac{R}{\mu v_0}$，得到 $s = \dfrac{R}{\mu} \ln 2$。