题目
到图示力偶M作用时,重物被提升。重物A的质量和均质圆盘O的质量均为m,均质圆盘的半径R,且可绕轴O转动;力偶M的大小2mgR。开始系统静止,不计摩擦。试求当重物被提升2R时:M 00-|||-A□重物A的速度为( )(a) M 00-|||-A□ (b) M 00-|||-A□ (c)M 00-|||-A□ (d) M 00-|||-A□A(a)B(d)C(b)D(c)
到图示力偶M作用时,重物被提升。重物A的质量和均质圆盘O的质量均为m,均质圆盘的半径R,且可绕轴O转动;力偶M的大小2mgR。开始系统静止,不计摩擦。试求当重物被提升2R时:
重物A的速度为( )
(a) 
(b) 
(c)
(d) 
A(a)
B(d)
C(b)
D(c)
题目解答
答案
1. 机械能守恒定律：
系统的总机械能守恒，假设重物 A 的速度为 v，圆盘的角速度为 
，有：
根据能量守恒定律：
其中，拉力做功为：
系统的动能由重物 A 和圆盘的动能组成：
圆盘的转动惯量 
，代入后得：
由于，则：
2. 合力做功等于动能变化：
WM = K
代入数值：
化简得：
所以：
答案：
重物 A 的速度为：
对应选项为 A。
解析
步骤 1：确定系统机械能守恒
系统由重物A和均质圆盘O组成，由于不计摩擦，系统机械能守恒。重物A被提升2R时，重物A的重力势能增加，圆盘O的动能增加，力偶M做功。
步骤 2：计算力偶M做功
力偶M的大小为2mgR，作用距离为2R，因此力偶M做功为：
${W}_{M}=M\cdot 2R=2mgR\cdot 2R=4mg{R}^{2}$
步骤 3：计算系统的动能
重物A的动能为：
${K}_{A}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$
圆盘O的动能为：
${K}_{O}=\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$
其中，圆盘O的转动惯量为：
$I=\dfrac {1}{2}m{R}^{2}$
圆盘O的角速度为：
$\omega =\dfrac {v}{R}$
因此，圆盘O的动能为：
${K}_{O}=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{2}m{R}^{2}\cdot {\left(\dfrac {v}{R}\right)}^{2}=\dfrac {1}{4}m{v}^{2}$
步骤 4：应用机械能守恒定律
根据机械能守恒定律，力偶M做功等于系统动能的增加：
${W}_{M}={K}_{A}+{K}_{O}$
代入数值，得：
$4mg{R}^{2}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}+\dfrac {1}{4}m{v}^{2}$
化简得：
$4mg{R}^{2}=\dfrac {3}{4}m{v}^{2}$
解得：
${v}^{2}=\dfrac {16g{R}^{2}}{3}$
$v=\dfrac {2\sqrt {6gR}}{3}$
系统由重物A和均质圆盘O组成，由于不计摩擦，系统机械能守恒。重物A被提升2R时，重物A的重力势能增加，圆盘O的动能增加，力偶M做功。
步骤 2：计算力偶M做功
力偶M的大小为2mgR，作用距离为2R，因此力偶M做功为：
${W}_{M}=M\cdot 2R=2mgR\cdot 2R=4mg{R}^{2}$
步骤 3：计算系统的动能
重物A的动能为：
${K}_{A}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$
圆盘O的动能为：
${K}_{O}=\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$
其中，圆盘O的转动惯量为：
$I=\dfrac {1}{2}m{R}^{2}$
圆盘O的角速度为：
$\omega =\dfrac {v}{R}$
因此，圆盘O的动能为：
${K}_{O}=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{2}m{R}^{2}\cdot {\left(\dfrac {v}{R}\right)}^{2}=\dfrac {1}{4}m{v}^{2}$
步骤 4：应用机械能守恒定律
根据机械能守恒定律，力偶M做功等于系统动能的增加：
${W}_{M}={K}_{A}+{K}_{O}$
代入数值，得：
$4mg{R}^{2}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}+\dfrac {1}{4}m{v}^{2}$
化简得：
$4mg{R}^{2}=\dfrac {3}{4}m{v}^{2}$
解得：
${v}^{2}=\dfrac {16g{R}^{2}}{3}$
$v=\dfrac {2\sqrt {6gR}}{3}$