[例题 -191 已知弹簧每伸长0.02m要用9.8N的力,求把弹簧拉长0.1m需做多少功?

本题考查变力做功的计算，解题思路可以通过两种方法来求解。

方法一：利用定积分计算变力做功

1. 首先根据胡克定律$F = kx$（其中$F$是弹簧所受的力，$k$是劲度系数，$x$是弹簧的伸长量）来确定劲度系数$k$。
   已知弹簧每伸长$0.02m$要用$9.8N$的力，将$F = 9.8N$，$x = 0.02m$代入$F = kx$中，可得：
   $9.8=k\times0.02$
   求解$k$，两边同时除以$0.02$，即$k=\frac{9.8}{0.02}=490N/m$。
   所以弹簧所受的力$F$与伸长量$x$的关系为$F = 490x$。
2. 然后根据功的微元法，在弹簧从$x$到$x + dx$的微小伸长过程中，力$F(x)$所做的功$dW$近似为$dW=F(x)dx$，这里$F(x)=490x$，所以$dW = 490xdx$。
3. 最后求把弹簧拉长$0.1m$所做的功$W$，就是对$dW$在区间$[0,0.1]$上进行积分，即$W=\int_{0}^{0.1}490xdx$。
   根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），对于$\int_{0}^{0.1}490xdx$，其中$n = 1$，可得：
   $W=490\times\frac{1}{2}x^{2}\big|_{0}^{0.1}$
   先计算$490\times\frac{1}{2}x^{2}=245x^{2}$，再代入积分上下限：
   $W=245\times(0.1)^{2}-245\times0^{2}$
   $=245\times0.01-0$
   $=2.45J$

方法二：利用弹簧弹性势能公式计算

1. 同样先根据胡克定律$F = kx$求出劲度系数$k$，前面已求得$k = 490N/m$。
2. 弹簧的弹性势能公式为$E_p=\frac{1}{2}kx^{2}$，外力对弹簧做功等于弹簧弹性势能的增加量。
   当弹簧从自然状态（$x = 0$）拉长到$x = 0.1m$时，弹簧弹性势能的增加量就是外力所做的功$W$。
   将$k = 490N/m$，$x = 0.1m$代入$W=\frac{1}{2}kx^{2}$中，可得：
   $W=\frac{1}{2}\times490\times(0.1)^{2}$
   $=245\times0.01$
   $=2.45J$