⏺5、波长为6000A的单色光垂直入射在一光栅上,第二级明纹出现在sin2 =0.20处,第四级为第一个缺级。求(1)光栅上相邻两缝的距离是多少?(2)狭缝可能的最小宽度是多少?(3)屏上可能观察到的全部明纹数目是多少?

本题主要考察光栅衍射的相关知识，包括光栅方程、缺级条件以及明纹数目的判断，具体解题思路如下：

（1）求光栅上相邻两缝的的距离$d$

光栅衍射的明纹条件为光栅方程：
$d\sin\varphi = k=2（第二级明纹），$\sin\varphi=0.2$，$\lambda=6000\,\text{A}=6000\times10^{-10}\text{m}=6\times10^{-7}\text{m}$，代入得： \[ d=\frac{k\lambda}{\sin\varphi}=\frac{2\times6\times10^{-7}}{0.2}=6\times10^{-6}\text{m}=6\times10^{-3}\text{mm}$

（2）求狭缝可能的最小宽度$a$

缺级条件：当衍射光同时满足光栅明纹和单缝暗纹时，出现缺级，即
$\frac{d}{a}=k'\quad (k'=1,2,3\cdots)$
题目中第四级（$k=4$）为第一个缺级，对应\k'=1)，故 $\frac{d}{a}=4\implies a=\frac{d}{4}=\frac{6\times10^{-3}\text{mm}}{4}=1.5\times10^{-3}\text{mm}$
（注：原答案中\b)应为缝间距$d$与缝宽$a$的差，\b=d-a=4.5\times10^{-3}\text{mm})，但题目仅问“狭缝可能的最小宽度”，即\a=1.5\times10^{-3}\text{mm})）

（3）求屏上可能观察到的全部明纹数目

明纹存在条件：$\sin\varphi\leq1$，故最大\k)满足 $k_{\text{max}}=\left\lfloor\frac{d}{\lambda}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{6\times10^{-6{-3}\text{mm}}{6000\text{A}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{6\times10^{-6}\text{m}{}{6\times10^{-7}}\right\rfloor=10$
但\k=10)时$\sin\sin\varphi=1$（实际不存在），故\k_{\text{max}}=9)。
缺级条件：$\frac{d}{a}=4$，缺级为\k=\pm4,\pm8)。
因此，存在的明纹为：$k=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm5,\pm6,\pm7,\pm9$，共共$1+2\times7=15$条。