2、设总体X的分布律为}1&2&3 theta&theta/2&1-3theta/2其中theta>0未知，现得到样本观测值2，3，2，1，3，求theta的矩估计值与最大似然估计值。(提示：已知样本的具体观测值，则似然函数该怎么求呢?)

为了求解$\theta$的矩估计值和最大似然估计值，我们首先需要理解总体$X$的分布律以及给定的样本观测值。总体$X$的分布律为： \[ \begin{pmatrix}1&2&3\\ \theta&\theta/2&1-3\theta/2\end{pmatrix} \] 其中$\theta > 0$未知。给定的样本观测值为2, 3, 2, 1, 3。我们首先求解$\theta$的矩估计值，然后求解最大似然估计值。 ### 矩估计值 矩估计法是用样本矩来估计总体矩。对于离散型随机变量，总体均值（一阶原点矩）为： \[ E(X) = 1 \cdot \theta + 2 \cdot \frac{\theta}{2} + 3 \cdot \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right) = \theta + \theta + 3 - \frac{9\theta}{2} = 3 - \frac{5\theta}{2} \] 样本均值$\bar{X}$为： \[ \bar{X} = \frac{2 + 3 + 2 + 1 + 3}{5} = \frac{11}{5} \] 在矩估计法中，我们用样本均值代替总体均值，即： \[ E(X) = \bar{X} \implies 3 - \frac{5\theta}{2} = \frac{11}{5} \] 解这个方程，我们得到： \[ 3 - \frac{11}{5} = \frac{5\theta}{2} \implies \frac{15}{5} - \frac{11}{5} = \frac{5\theta}{2} \implies \frac{4}{5} = \frac{5\theta}{2} \implies \theta = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{25} \] 因此，$\theta$的矩估计值为： \[ \boxed{\frac{8}{25}} \] ### 最大似然估计值 最大似然估计法是找到使似然函数最大化的参数值。似然函数$L(\theta)$是样本观测值的联合概率，即： \[ L(\theta) = P(X_1 = 2) \cdot P(X_2 = 3) \cdot P(X_3 = 2) \cdot P(X_4 = 1) \cdot P(X_5 = 3) = \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right)^2 \cdot \theta \] 为了找到使似然函数最大化的$\theta$值，我们取似然函数的对数，得到对数似然函数$\ell(\theta)$： \[ \ell(\theta) = \ln L(\theta) = \ln \left(\left(\frac{\theta}{2}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right)^2 \cdot \theta\right) = 2 \ln \left(\frac{\theta}{2}\right) + 2 \ln \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right) + \ln \theta \] \[ \ell(\theta) = 2 \ln \theta - 2 \ln 2 + 2 \ln \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right) + \ln \theta = 3 \ln \theta + 2 \ln \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right) - 2 \ln 2 \] 我们对对数似然函数求导，并令导数等于零： \[ \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{3}{\theta} + 2 \cdot \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{3\theta}{2}} = \frac{3}{\theta} - \frac{3}{1 - \frac{3\theta}{2}} = \frac{3}{\theta} - \frac{3}{\frac{2 - 3\theta}{2}} = \frac{3}{\theta} - \frac{6}{2 - 3\theta} \] \[ \frac{3}{\theta} - \frac{6}{2 - 3\theta} = 0 \implies \frac{3}{\theta} = \frac{6}{2 - 3\theta} \implies 3(2 - 3\theta) = 6\theta \implies 6 - 9\theta = 6\theta \implies 6 = 15\theta \implies \theta = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \] 为了确保这个$\theta$值使似然函数最大化，我们可以检查二阶导数，但这里我们只给出结果。因此，$\theta$的最大似然估计值为： \[ \boxed{\frac{2}{5}} \]