题目
设有界曲面 S: z = x + 2y 在 xOy, yOz, zOx 坐标面上的投影分别为 D_(xy), D_(yz), D_(zx) 则下列曲面积分转化为重积分公式错误的是 (). A. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{zx)} f(x, (z-x)/(2), z)sqrt((3)/(2)) , dz , dxB. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{xy)} f(x, y, x+2y)sqrt(6) , dx , dyC. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{xy)} f(x, (z-x)/(2), z)sqrt(6) , dz , dxD. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{yz)} f(z-2y, y, z)sqrt(6) , dy , dz
设有界曲面 $S: z = x + 2y$ 在 $xOy, yOz, zOx$ 坐标面上的投影分别为 $D_{xy}, D_{yz}, D_{zx}$
则下列曲面积分转化为重积分公式错误的是 ().
- A. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{zx}} f\left(x, \frac{z-x}{2}, z\right)\sqrt{\frac{3}{2}} \, dz \, dx$
- B. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{xy}} f(x, y, x+2y)\sqrt{6} \, dx \, dy$
- C. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{xy}} f\left(x, \frac{z-x}{2}, z\right)\sqrt{6} \, dz \, dx$
- D. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{yz}} f(z-2y, y, z)\sqrt{6} \, dy \, dz$
题目解答
答案
将曲面 $ S: z = x + 2y $ 转换为重积分时，曲面元素 $ dS $ 为：
\[ dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dA = \sqrt{6} \, dA \]
其中 $ dA $ 是投影平面上的面积元素。
**选项分析：**
- **A：** 投影到 $ zOx $ 平面，$ y = \frac{z - x}{2} $，则：
\[ dS = \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, dz \, dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dz \, dx \]
公式正确。
- **B：** 投影到 $ xOy $ 平面，$ dS = \sqrt{6} \, dx \, dy $，公式正确。
- **C：** 投影到 $ zOx $ 平面，但使用 $ \sqrt{6} $ 而非 $ \sqrt{\frac{3}{2}} $，公式错误。
- **D：** 投影到 $ yOz $ 平面，$ x = z - 2y $，则：
\[ dS = \sqrt{1 + (-2)^2 + 1^2} \, dy \, dz = \sqrt{6} \, dy \, dz \]
公式正确。
**答案：**
\[
\boxed{C}
\]