题目
【单选题】如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的 2 倍,则其电场的能量变为原来的 [ ]A. 2 倍．B. 1/2 倍．C. 4 倍．D. 1/4 倍．
【单选题】如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的 2 倍,则其电场的能量变为原来的 [ ]
A. 2 倍．
B. 1/2 倍．
C. 4 倍．
D. 1/4 倍．
题目解答
答案
C. 4 倍．
解析
步骤 1：电场能量与电荷分布的关系
电场能量 \(W\) 与电荷分布的体密度 \(\rho\) 之间的关系可以通过电场能量密度 \(u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2\) 和电场 \(E\) 与电荷分布 \(\rho\) 的关系 \(E = \frac{\rho}{\epsilon_0}\) 来推导。其中，\(\epsilon_0\) 是真空介电常数。
步骤 2：电场能量与电荷分布体密度的关系
将电场 \(E\) 的表达式代入电场能量密度 \(u\) 的表达式中，得到 \(u = \frac{1}{2}\epsilon_0 \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)^2 = \frac{\rho^2}{2\epsilon_0}\)。因此，电场能量 \(W\) 与电荷分布体密度 \(\rho\) 的平方成正比。
步骤 3：电荷分布体密度增大对电场能量的影响
如果电荷分布的体密度 \(\rho\) 增大为原来的 2 倍，即 \(\rho' = 2\rho\)，则电场能量 \(W'\) 与原来电场能量 \(W\) 的关系为 \(W' = \frac{(\rho')^2}{2\epsilon_0} = \frac{(2\rho)^2}{2\epsilon_0} = 4\frac{\rho^2}{2\epsilon_0} = 4W\)。因此，电场能量变为原来的 4 倍。
电场能量 \(W\) 与电荷分布的体密度 \(\rho\) 之间的关系可以通过电场能量密度 \(u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2\) 和电场 \(E\) 与电荷分布 \(\rho\) 的关系 \(E = \frac{\rho}{\epsilon_0}\) 来推导。其中，\(\epsilon_0\) 是真空介电常数。
步骤 2：电场能量与电荷分布体密度的关系
将电场 \(E\) 的表达式代入电场能量密度 \(u\) 的表达式中，得到 \(u = \frac{1}{2}\epsilon_0 \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)^2 = \frac{\rho^2}{2\epsilon_0}\)。因此，电场能量 \(W\) 与电荷分布体密度 \(\rho\) 的平方成正比。
步骤 3：电荷分布体密度增大对电场能量的影响
如果电荷分布的体密度 \(\rho\) 增大为原来的 2 倍，即 \(\rho' = 2\rho\)，则电场能量 \(W'\) 与原来电场能量 \(W\) 的关系为 \(W' = \frac{(\rho')^2}{2\epsilon_0} = \frac{(2\rho)^2}{2\epsilon_0} = 4\frac{\rho^2}{2\epsilon_0} = 4W\)。因此，电场能量变为原来的 4 倍。