题目
3.如图所示,一水平刚性轻杆,质量不计杆长 =20cm, 其上穿有一个小球.初始时,小-|||-球放置于距轻杆中心O的距离 d=5cm 处,并与点O用细线拉紧.现在让轻杆绕通过O的竖-|||-直固定轴以转速wo作匀速转动,再烧断细线.其后小球向杆的端点滑动.若转轴摩擦不计,当-|||-小球滑至杆的端点时,杆的角速度为-|||-1-|||-d-|||-l-|||-A.2w0· B.w0. C. (omega )_(0)/2. D. (1)0/4..
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定初始条件
初始时，小球位于距轻杆中心O的距离d=5cm处，轻杆以角速度${\omega }_{0}$匀速转动。由于轻杆质量不计，小球的运动仅受轻杆的约束，因此小球的角动量守恒。
步骤 2：应用角动量守恒定律
当小球滑至杆的端点时，小球与轻杆中心O的距离变为l/2=10cm。根据角动量守恒定律，小球的角动量在运动过程中保持不变，即${I}_{1}{\omega }_{1}={I}_{2}{\omega }_{2}$，其中${I}_{1}$和${I}_{2}$分别是小球在初始位置和最终位置的转动惯量，${\omega }_{1}$和${\omega }_{2}$分别是小球在初始位置和最终位置的角速度。由于小球质量不变，${I}_{1}=m{d}^{2}$，${I}_{2}=m{(l/2)}^{2}$，其中m为小球质量，d=5cm，l=20cm。因此，${\omega }_{2}={\omega }_{1}{I}_{1}/{I}_{2}={\omega }_{0}{d}^{2}/{(l/2)}^{2}={\omega }_{0}{(5cm)}^{2}/{(10cm)}^{2}={\omega }_{0}/4$。
步骤 3：确定最终答案
根据上述分析，当小球滑至杆的端点时，杆的角速度为${\omega }_{0}/4$。
初始时，小球位于距轻杆中心O的距离d=5cm处，轻杆以角速度${\omega }_{0}$匀速转动。由于轻杆质量不计，小球的运动仅受轻杆的约束，因此小球的角动量守恒。
步骤 2：应用角动量守恒定律
当小球滑至杆的端点时，小球与轻杆中心O的距离变为l/2=10cm。根据角动量守恒定律，小球的角动量在运动过程中保持不变，即${I}_{1}{\omega }_{1}={I}_{2}{\omega }_{2}$，其中${I}_{1}$和${I}_{2}$分别是小球在初始位置和最终位置的转动惯量，${\omega }_{1}$和${\omega }_{2}$分别是小球在初始位置和最终位置的角速度。由于小球质量不变，${I}_{1}=m{d}^{2}$，${I}_{2}=m{(l/2)}^{2}$，其中m为小球质量，d=5cm，l=20cm。因此，${\omega }_{2}={\omega }_{1}{I}_{1}/{I}_{2}={\omega }_{0}{d}^{2}/{(l/2)}^{2}={\omega }_{0}{(5cm)}^{2}/{(10cm)}^{2}={\omega }_{0}/4$。
步骤 3：确定最终答案
根据上述分析，当小球滑至杆的端点时，杆的角速度为${\omega }_{0}/4$。