题目
下列函数可作为连续型随机变量的概率密度( ).A.f(x)= { pi 0 .
下列函数可作为连续型随机变量的概率密度( ).
- A.
- B.
- C.
- D.
题目解答
答案
B. $\left \{ \begin{matrix} -\sin x\quad \pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi \\ 0\end{matrix} \right.$
解析
步骤 1：检查函数的非负性
概率密度函数必须在定义域内非负。我们检查每个选项在给定区间内的符号。
- A. $\sin x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非正，因此不满足非负性。
- B. $-\sin x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非负，满足非负性。
- C. $\cos x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非正，因此不满足非负性。
- D. $1-\cos x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非负，满足非负性。
步骤 2：检查函数的积分是否等于1
概率密度函数在定义域上的积分必须等于1。我们计算每个选项在给定区间上的积分。
- B. $\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} -\sin x dx = \cos x |_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} = \cos \frac{3}{2}\pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$
- D. $\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} (1-\cos x) dx = (x - \sin x) |_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} = (\frac{3}{2}\pi - \sin \frac{3}{2}\pi) - (\pi - \sin \pi) = \frac{3}{2}\pi - \pi = \frac{1}{2}\pi \neq 1$
概率密度函数必须在定义域内非负。我们检查每个选项在给定区间内的符号。
- A. $\sin x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非正，因此不满足非负性。
- B. $-\sin x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非负，满足非负性。
- C. $\cos x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非正，因此不满足非负性。
- D. $1-\cos x$ 在 $\pi \leqslant x\leqslant \dfrac {3}{2}\pi$ 内非负，满足非负性。
步骤 2：检查函数的积分是否等于1
概率密度函数在定义域上的积分必须等于1。我们计算每个选项在给定区间上的积分。
- B. $\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} -\sin x dx = \cos x |_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} = \cos \frac{3}{2}\pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$
- D. $\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} (1-\cos x) dx = (x - \sin x) |_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} = (\frac{3}{2}\pi - \sin \frac{3}{2}\pi) - (\pi - \sin \pi) = \frac{3}{2}\pi - \pi = \frac{1}{2}\pi \neq 1$