11【单选题】某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，则这16只元件寿命总和大于1920小时的概率是（）A. Phi(0.8)B. 2Phi(0.8)-1C. Phi(1)D. 1-Phi(0.8)

本题考查指数分布的性质、独立同分布的中心极限定理以及正态分布概率的计算。解题思路如下：

1. 首先明确指数分布的期望和方差公式，根据已知条件求出单个电器元件寿命的期望和方差。
2. 然后利用独立同分布的中心极限定理，得到$16$只元件寿命总和近似服从的正态分布。
3. 最后将所求概率转化为标准正态分布的概率进行计算。

步骤一：求单个电器元件寿命的期望和方差

设第$i$个电器元件的寿命为$X_i$（$i = 1,2,\cdots,16$），已知$X_i$服从均值为$100$小时的指数分布，即$X_i\sim E(100)$。
对于指数分布$X\sim E(\lambda)$，其期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。
由$E(X_i)=100=\frac{1}{\lambda}$，可得$\lambda = \frac{1}{100}$，那么方差$D(X_i)=\frac{1}{\lambda^2}=100^2 = 10000$。

步骤二：求$16$只元件寿命总和的期望和方差

设$16$只元件寿命总和为$Y=\sum_{i = 1}^{16}X_i$。
根据期望和方差的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$，$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$。
所以$E(Y)=E(\sum_{i = 1}^{16}X_i)=\sum_{i = 1}^{16}E(X_i)=16\times100 = 1600$，$D(Y)=D(\sum_{i = 1}^{16}X_i)=\sum_{i = 1}^{16}D(X_i)=16\times10000 = 160000$。

步骤三：根据中心极限定理确定$Y$近似服从的正态分布

由独立同分布的中心极限定理可知，当$n$充分大时（本题$n = 16$），$\sum_{i = 1}^{n}X_i$近似服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^2)$，其中$\mu$为单个随机变量的期望，$\sigma^2$为单个随机变量的方差。
所以$Y=\sum_{i = 1}^{16}X_i$近似服从正态分布$N(1600,160000)$。

步骤四：计算$P(Y\gt1920)$

将$Y$进行标准化，令$Z=\frac{Y - E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}=\frac{Y - 1600}{\sqrt{160000}}=\frac{Y - 1600}{400}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
$P(Y\gt1920)=1 - P(Y\leq1920)=1 - P(\frac{Y - 1600}{400}\leq\frac{1920 - 1600}{400})$
$=1 - P(Z\leq\frac{320}{400})=1 - P(Z\leq0.8)$
因为标准正态分布的分布函数为$\varPhi(z)=P(Z\leq z)$，所以$P(Y\gt1920)=1 - \varPhi(0.8)$。