题目
图9-8为一循环过程的T-V图线。该循环的工质为νmol的理想气体，其Cv,m和γ均已知且为常量。已知a点的温度为T1，体积为V1，b点的体积为V2，ca为绝热过程。求：(1)c点的温度; (2)循环的效率。 (1)c点的温度; (2)循环的效率。
图9-8为一循环过程的T-V图线。该循环的工质为νmol的理想气体，其Cv,m和γ均已知且为常量。已知a点的温度为T1，体积为V1，b点的体积为V2，ca为绝热过程。求：
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定绝热过程的温度关系
根据绝热过程的性质，对于理想气体，绝热过程满足关系式：$T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$，其中$\gamma$是比热容比，$T_1$和$T_2$分别是过程开始和结束时的温度，$V_1$和$V_2$分别是过程开始和结束时的体积。在这个问题中，$T_1$和$V_1$是已知的，$V_2$也是已知的，我们需要求解$T_2$，即c点的温度。
步骤 2：计算c点的温度
将已知的值代入绝热过程的温度关系式中，得到$c$点的温度$T_c$：
$$T_c = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$$
步骤 3：计算循环的效率
循环的效率$\eta$定义为循环中输出的净功与输入的热量之比。对于这个循环，输入的热量$Q_1$是a到b的等温过程中的热量，输出的热量$Q_2$是b到c的等容过程中的热量。循环的效率可以表示为：
$$\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$
其中，$Q_1 = \nu R T_1 \ln \frac{V_2}{V_1}$，$Q_2 = \nu C_{v,m} (T_b - T_c)$，$T_b = T_1$，因为a到b是等温过程，所以$T_b = T_1$。将$T_c$的表达式代入$Q_2$的表达式中，得到：
$$\eta = 1 - \frac{\nu C_{v,m} (T_1 - T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1})}{\nu R T_1 \ln \frac{V_2}{V_1}}$$
化简得到：
$$\eta = 1 - \frac{C_{v,m}}{R} \frac{1 - \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}}{\ln \frac{V_2}{V_1}}$$
根据绝热过程的性质，对于理想气体，绝热过程满足关系式：$T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$，其中$\gamma$是比热容比，$T_1$和$T_2$分别是过程开始和结束时的温度，$V_1$和$V_2$分别是过程开始和结束时的体积。在这个问题中，$T_1$和$V_1$是已知的，$V_2$也是已知的，我们需要求解$T_2$，即c点的温度。
步骤 2：计算c点的温度
将已知的值代入绝热过程的温度关系式中，得到$c$点的温度$T_c$：
$$T_c = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$$
步骤 3：计算循环的效率
循环的效率$\eta$定义为循环中输出的净功与输入的热量之比。对于这个循环，输入的热量$Q_1$是a到b的等温过程中的热量，输出的热量$Q_2$是b到c的等容过程中的热量。循环的效率可以表示为：
$$\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$
其中，$Q_1 = \nu R T_1 \ln \frac{V_2}{V_1}$，$Q_2 = \nu C_{v,m} (T_b - T_c)$，$T_b = T_1$，因为a到b是等温过程，所以$T_b = T_1$。将$T_c$的表达式代入$Q_2$的表达式中，得到：
$$\eta = 1 - \frac{\nu C_{v,m} (T_1 - T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1})}{\nu R T_1 \ln \frac{V_2}{V_1}}$$
化简得到：
$$\eta = 1 - \frac{C_{v,m}}{R} \frac{1 - \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}}{\ln \frac{V_2}{V_1}}$$