用一束具有两种波长λ1=600nm，λ2=400nm的平行光垂直入射在光栅上，发现距中央明纹5cm处，λ1光的第k级主极大和λ2光的第(k+1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=50 cm，试求：（1）k=?（2）光栅常数d =?

考查要点：本题主要考查光栅衍射的基本规律及小角度近似应用，涉及光栅方程和几何关系的结合。

解题核心思路：

1. 光栅方程：两种波长的光在相同位置出现主极大，说明它们的衍射角θ相同，联立方程求解级数k。
2. 几何关系：利用小角度近似（$\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{x}{f}$），结合光栅方程推导光栅常数d。

破题关键点：

• 联立方程：通过两种光的光栅方程建立k与λ的关系。
• 单位统一：注意将波长、距离等物理量单位统一为国际单位制。

第（1）题：求k值

建立光栅方程

两种光的主极大重合，说明它们的衍射角θ相同，因此：
$d \sin\theta = k \lambda_1 \quad \text{（λ₁光）} \\ d \sin\theta = (k+1) \lambda_2 \quad \text{（λ₂光）}$

联立方程消去d

将两式联立得：
$k \lambda_1 = (k+1) \lambda_2$

解方程求k

代入$\lambda_1 = 600 \, \text{nm}$，$\lambda_2 = 400 \, \text{nm}$：
$k \cdot 600 = (k+1) \cdot 400 \\ 600k = 400k + 400 \\ 200k = 400 \\ k = 2$

第（2）题：求光栅常数d

几何关系与光栅方程结合

根据小角度近似$\sin\theta \approx \frac{x}{f}$，代入光栅方程：
$d \cdot \frac{x}{f} = k \lambda_1$

解方程求d

整理得：
$d = \frac{k \lambda_1 f}{x}$

代入数据计算

将$k=2$，$\lambda_1 = 600 \, \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \, \text{m}$，$f = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}$，$x = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}$代入：
$d = \frac{2 \cdot 600 \times 10^{-9} \cdot 0.5}{0.05} = \frac{600 \times 10^{-9}}{0.05} = 1.2 \times 10^{-5} \, \text{m}$