13.设 f(x)= { xgt 0 ax+b xleqslant 0

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的可导性条件，涉及函数连续性和导数相等的判断。

解题核心思路：

1. 连续性：函数在$x=0$处可导，首先必须连续。因此需要保证左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$、右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$与$f(0)$相等。
2. 导数相等：在连续的基础上，计算左右导数并令其相等，从而确定参数$a$和$b$的值。

破题关键点：

• 右极限计算：当$x \to 0^+$时，$\arctan \frac{1}{x}$的极限为$\frac{\pi}{2}$。
• 导数计算：对$x>0$部分求导时，注意链式法则的应用，正确化简导数表达式。

步骤1：验证连续性

当$x \to 0^+$时，$\arctan \frac{1}{x} \to \arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$；
当$x \to 0^-$时，$ax + b \to b$。
为了连续，需满足：
$b = \frac{\pi}{2}$

步骤2：计算左右导数

• 当$x > 0$时，$f(x) = \arctan \frac{1}{x}$，导数为：
  $f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2 + 1}$
  当$x \to 0^+$时，右导数为：
  $f'_+(0) = -\frac{1}{0 + 1} = -1$

• 当$x \leq 0$时，$f(x) = ax + b$，导数为$a$，左导数为：
  $f'_-(0) = a$

步骤3：令左右导数相等

为了可导，需满足：
$a = -1$

综上，$a = -1$，$b = \frac{\pi}{2}$，对应选项D。