13.设 f(x)= { xgt 0 ax+b xleqslant 0

步骤 1：确定函数在 x=0 处连续
函数 f(x) 在 x=0 处可导，首先需要在 x=0 处连续。这意味着当 x 从正方向趋近于 0 时，函数值应等于当 x 从负方向趋近于 0 时的函数值。即：
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)
$$
步骤 2：计算 x 从正方向趋近于 0 时的函数值
当 x > 0 时，f(x) = arctan(1/x)。当 x 从正方向趋近于 0 时，1/x 趋近于正无穷大，因此：
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \arctan \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{\pi}{2}
$$
步骤 3：计算 x 从负方向趋近于 0 时的函数值
当 x ≤ 0 时，f(x) = ax + b。当 x 从负方向趋近于 0 时，函数值为：
$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = a \cdot 0 + b = b
$$
步骤 4：确定 b 的值
由于函数在 x=0 处连续，所以：
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)
$$
即：
$$
\frac{\pi}{2} = b
$$
步骤 5：确定 a 的值
函数在 x=0 处可导，意味着在 x=0 处的左导数和右导数相等。当 x > 0 时，f(x) = arctan(1/x)，其导数为：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \arctan \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{1 + \left( \frac{1}{x} \right)^2} \cdot \frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}
$$
当 x 从正方向趋近于 0 时，f'(x) 趋近于 -1。当 x ≤ 0 时，f(x) = ax + b，其导数为：
$$
f'(x) = a
$$
由于函数在 x=0 处可导，所以：
$$
\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = f'(0)
$$
即：
$$
-1 = a
$$