11-26 如习题 11-26 图所示,三个同频率、振动方向相同(垂直纸面)的简谐波,在传播-|||-过程中于P点相遇.若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3点的振动表式分别为: _(1)=-|||-cos (omega t+dfrac (pi )(2)) _(2)=Acos omega t 和 _(3)=Acos (omega t-dfrac (pi )(2)) .如 _(2)P=4lambda _(1)P=(S)_(3)P=5lambda (λ为波长).求P点-|||-的合振动表式(设传播过程中各波的振幅不变).

考查要点：本题主要考查波的叠加原理及相位差的计算。需要掌握如何根据波的传播距离确定相位变化，并将多个简谐振动合成。

解题核心思路：

1. 确定各波在P点的振动方程：根据波传播的距离计算相位差，结合初始相位，得到各波在P点的振动表达式。
2. 利用相位关系简化计算：传播距离为波长整数倍时，相位变化为$2\pi$的整数倍，可忽略。
3. 矢量叠加：将三个振动的余弦项转化为正弦或直接相加，利用三角函数恒等式求和。

破题关键点：

• 相位变化的周期性：传播距离为波长整数倍时，相位变化不影响最终结果。
• 三角函数恒等变换：将不同相位的余弦项转化为正弦或直接相加，简化计算。

步骤1：确定各波在P点的振动方程

1. S₁波：

   • 初始相位：$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$
   • 传播距离：$S_1P = 5\lambda$，相位变化：$\Delta \phi_1 = k \cdot 5\lambda = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 5\lambda = 10\pi$
   • 总相位：$\phi_1 + \Delta \phi_1 = \frac{\pi}{2} + 10\pi = \frac{\pi}{2}$（周期性简化）
   • 振动方程：$y_1 = A\cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$

2. S₂波：

   • 初始相位：$\phi_2 = 0$
   • 传播距离：$S_2P = 4\lambda$，相位变化：$\Delta \phi_2 = k \cdot 4\lambda = 8\pi$
   • 总相位：$\phi_2 + \Delta \phi_2 = 0 + 8\pi = 0$（周期性简化）
   • 振动方程：$y_2 = A\cos(\omega t)$

3. S₃波：

   • 初始相位：$\phi_3 = -\frac{\pi}{2}$
   • 传播距离：$S_3P = 5\lambda$，相位变化：$\Delta \phi_3 = 10\pi$
   • 总相位：$\phi_3 + \Delta \phi_3 = -\frac{\pi}{2} + 10\pi = -\frac{\pi}{2}$（周期性简化）
   • 振动方程：$y_3 = A\cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$

步骤2：矢量叠加

将三个振动相加：
$\begin{aligned}y_{\text{合}} &= y_1 + y_2 + y_3 \\&= A\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) + A\cos(\omega t) + A\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \\&= A\left[ -\sin(\omega t) + \cos(\omega t) + \sin(\omega t) \right] \quad \text{（利用$\cos(\theta \pm \frac{\pi}{2}) = \mp \sin\theta$）} \\&= A\cos(\omega t)\end{aligned}$