14. (4.0分) 信号一个一个地陆续到来. 第一个信号的到达时刻，以及各信号间的到达时刻间隔是相互独立的随机变量，且均服从指数分布，平均间隔为0.2分钟，用中心极限定理近似求得16分钟时来的信号数不超过100个的概率为_____.(请小数点之后保留4位有效数字，Phi(2)=0.9772，Phi(1)=0.8413)

本题考查中心极限定理的应用。解题的的思路是先根据已知条件确定信号到达间隔的分布，进而求出其期望和方差，再利用中心构造来表示出$100$个信号到达的的总时间，最后根据中心极限定理将其近似为正态分布来计算概率。

1. 确定信号到达间隔的分布及参数：
   • 已知各信号间的到达时刻间隔$X_i$相互独立且均服从指数分布，平均间隔为$0.2$分钟。
   • 对于指数分布，若其概率密度函数为$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\gt0$，则期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。
   • 由$E(X_i)=0.2=\frac{1}{\lambda}$，可得$\lambda = \frac{1}{0.2}=5$。
   • 所以$X_i$服从参数为$\lambda = 5$的指数分布，其方差$D(X_i)=\frac{frac{1}{5^2}=0.04$。
2. 计算$100$个信号到达间隔的总时间的期望和方差：
   • 设$S_{100}=X_1 + X_2+\cdots+X_{100}$，表示$100$个信号到达的总时间。
   • 根据期望和方差的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i})=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$，$D(\sum_{i = 1}^{nX_i})=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$。
   • 所以$E(S_{100})=E(X_1 + X_2+\cdots+X_{100})=\sum_{i = 1}^{100}E(X_i)=100\times0.2 = 20$（分钟）。
   • $D(S_{100})=D(X_1 + X_2+\cdots+X_{100})=\sum_{i = 1}^{100}D(X_i)=100\times0.04 = 4$。
   • 则标准差$\sigma_{S_{100}}=\sqrt{D(S_{100})}=\sqrt{4}=2$（分钟）。
3. 利用中心极限定理计算概率：
   • 根据中心极限定理，当$n$充分大时（本题$n = 100$），$S_{100}$近似服从正态分布$N(E(S_{100}),D(S_{100}))$，即$N(20,4)$。
   • 要求$P(S_{100}\leq16)$，令$Z=\frac{S_{100}-E(S_{100})}{\sigma_{S_{100}}}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
   • 则$P(S_{1000}\leq16)=P\left(\frac{S_{100}-20}{2}\leq\frac{16 - 20}{2}\right)=P(Z\leq - 2)$。
   • 由于标准正态分布的对称性，$P(Z\leq - 2)=1 - P(Z\leq2)$，已知$\Phi(2)=P(Z\leq2)=0.9772$。
   • 所以$P(S_{100}\leq16)=1 - 0.9772 = 0.0228$。