题目
质量为 M_1=25,(kg) 的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为 M_2=5,(kg) 的圆盘形定滑轮悬有 m=10,(kg) 的物体，g=10,(m/s)^2。求当重物由静止开始下降了 h=0.5,(m) 时，(1) 物体的速度；(2) 绳中张力。(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面)
质量为 $M_1=25\,\text{kg}$ 的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为 $M_2=5\,\text{kg}$ 的圆盘形定滑轮悬有 $m=10\,\text{kg}$ 的物体，$g=10\,\text{m/s}^2$。求当重物由静止开始下降了 $h=0.5\,\text{m}$ 时，
(1) 物体的速度；
(2) 绳中张力。
(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面)
题目解答
答案
1. 根据机械能守恒：
\[
mgh = \frac{1}{4} (M_1 + M_2 + 2m) v^2
\]
代入数据得：
\[
50 = \frac{1}{4} \times 50 v^2 \implies v^2 = 4 \implies v = 2 \, \text{m/s}
\]
2. 根据动力学方程：
\[
a = \frac{m g}{\frac{1}{2} M_1 + \frac{1}{2} M_2 + m} = \frac{100}{25} = 4 \, \text{m/s}^2
\]
\[
T_1 = \frac{1}{2} M_1 a = \frac{1}{2} \times 25 \times 4 = 50 \, \text{N}
\]
\[
T_2 = m (g - a) = 10 (10 - 4) = 60 \, \text{N}
\]
答案：
1. 物体的速度为 $ v = 2 \, \text{m/s} $。
2. 大圆轮一侧的张力 $ T_1 = 50 \, \text{N} $，小定滑轮一侧的张力 $ T_2 = 60 \, \text{N} $。
解析
本题主要考察刚体的转动定律和机械能守恒定律的综合应用。解题的关键思路是分别对圆轮、定滑轮和重物进行受力分析，根据转动定律列出方程，再结合运动学关系和机械能守恒定律求解物体的速度和绳中张力。
（1）求物体的速度
- 分析系统的机械能：
- 系统由圆轮、定滑轮和重物组成，在重物下降过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒。
- 重物下降高度为$h$，重力势能减少$mgh$。
- 圆轮绕轴转动，其转动动能为$E_{k1}=\frac{1}{2}I_1\omega_1^2$，其中$I_1$为圆轮的转动惯量，对于质量为$M_1$的圆轮，$I_1 = \frac{1}{2}M_1R_1^2$（$R_1$为圆轮半径），$\omega_1$为圆轮的角速度。
- 定滑轮绕轴转动，其转动动能为$E_{k2}=\frac{1}{2}I_2\omega_2^2$，其中$I_2$为定滑轮的转动惯量，对于质量为$M_2$的圆盘形定滑轮，$I_2 = \frac{1}{2}M_2R_2^2$（$R_2$为定滑轮半径），$\omega_2$为定滑轮的角速度。
- 重物的平动动能为$E_{k3}=\frac{1}{2}mv^2$，其中$v$为重物的速度。
- 根据线速度与角速度的关系：
- 由于绳与定滑轮间无相对滑动，所以圆轮边缘的线速度$v_1$、定滑轮边缘的线速度$v_2$和重物的速度$v$相等，即$v_1 = v_2 = v$。
- 又因为$v = R_1\omega_1 = R_2\omega_2$，所以$\omega_1 = \frac{v}{R_1}$，$\omega_2 = \frac{v}{R_2}$。
- 根据机械能守恒定律：
- 系统初始机械能为$E_1 = mgh$，末机械能为$E_2 = \frac{1}{2}I_1\omega_1^2 + \frac{1}{2}I_2\omega_2^2 + \frac{1}{2}mv^2$。
- 因为$I_1 = \frac{1}{2}M_1R_1^2$，$I_2 = \frac{1}{2}M_2R_2^2$，$\omega_1 = \frac{v}{R_1}$，$\omega_2 = \frac{v}{R_2}$，代入可得：
$\begin{align*}mgh&=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}M_1R_1^2\times(\frac{v}{R_1})^2 + \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}M_2R_2^2\times(\frac{v}{R_2})^2 + \frac{1}{2}mv^2\\mgh&=\frac{1}{4}M_1v^2 + \frac{1}{4}M_2v^2 + \frac{1}{2}mv^2\\mgh&=\frac{1}{4}(M_1 + M_2 + 2m)v^2\end{align*}$
- 代入数据求解：
- 已知$M_1 = 25\,\text{kg}$，$M_2 = 5\,\text{kg}$，$m = 10\,\text{kg}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$，$h = 0.5\,\text{m}$，代入上式可得：
$\begin{align*}10\times10\times0.5&=\frac{1}{4}(25 + 5 + 2\times10)v^2\\50&=\frac{1}{4}\times50v^2\\v^2&= 4\\v&= 2\,\text{m/s}\end{align*}$
- 已知$M_1 = 25\,\text{kg}$，$M_2 = 5\,\text{kg}$，$m = 10\,\text{kg}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$，$h = 0.5\,\text{m}$，代入上式可得：
（2）求绳中张力
- 对圆轮、定滑轮和重物分别应用牛顿第二定律和转动定律：
- 设圆轮一侧绳的张力为$T_1$，定滑轮一侧绳的张力为$T_2$，重物的加速度为$a$。
- 对重物$m$，根据牛顿第二定律有$mg - T_2 = ma$。
- 对圆轮$M_1$，根据转动定律$T_1R_1 = I_1\alpha_1$，其中$\alpha_1$为圆轮的角加速度，因为$a = R_1\alpha_1$，$I_1 = \frac{1}{2}M_1R_1^2$，所以$T_1R_1 = \frac{1}{2}M_1R_1^2\times\frac{a}{R_1}$，即$T_1 = \frac{1}{2}M_1a$。
- 对定滑轮$M_2$，根据转动定律$(T_2 - T_1)R_2 = I_2\alpha_2$，其中$\alpha_2$为定滑轮的角加速度，因为$a = R_2\alpha_2$，$I_2 = \frac{1}{2}M_2R_2^2$，所以$(T_2 - T_1)R_2 = \frac{1}{2}M_2R_2^2\times\frac{a}{R_2}$，即$T_2 - T_1 = \frac{1}{2}M_2a$。
- 联立方程求解加速度$a$：
- 将$T_1 = \frac{1}{2}M_1a$，$T_2 - T_1 = \frac{1}{2}M_2a$代入$mg - T_2 = ma$可得：
$\begin{align*}mg - (\frac{1}{2}M_1a + \frac{1}{2}M_2a)&= ma\\mg&= (\frac{1}{2}M_1 + \frac{1}{2}M_2 + m)a\\a&=\frac{mg}{\frac{1}{2}M_1 + \frac{1}{2}M_2 + m}\end{align*}$ - 代入数据可得：
$\begin{align*}a&=\frac{10\times10}{\frac{1}{2}\times25 + \frac{1}{2}\times5 + 10}\\&=\frac{100}{12.5 + 2.5 + 10}\\&=\frac{100}{25}\\&= 4\,\text{m/s}^2\end{align*}$
- 将$T_1 = \frac{1}{2}M_1a$，$T_2 - T_1 = \frac{1}{2}M_2a$代入$mg - T_2 = ma$可得：
- 求解绳中张力$T_1$和$T_2$：
- 由$T_1 = \frac{1}{2}M_1a$，代入数据可得：
$\begin{align*}T_1&=\frac{1}{2}\times25\times4\\&= 50\,\text{N}\end{align*}$ - 由$T_2 = m(g - a)$，代入数据可得：
$\begin{align*}T_2&= 10\times(10 - 4)\\&= 60\,\text{N}\end{align*}$
- 由$T_1 = \frac{1}{2}M_1a$，代入数据可得：