15.（本题满分10分）求曲线y=(x^1+x)/((1+x)^x)(x>0)的斜渐近线方程.
题目解答
答案
设 $ y = \frac{x^{1+x}}{(1+x)^x} $，求斜渐近线 $ y = ax + b $。
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求斜率 $ a $：
$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1+x}}{x(1+x)^x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{1+x} \right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \right)^x = \frac{1}{e}$ -
求截距 $ b $：
$b = \lim_{x \to +\infty} (y - ax) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^{1+x}}{(1+x)^x} - \frac{x}{e} \right) = \lim_{x \to +\infty} x \left( \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x} - \frac{1}{e} \right)$
由泰勒展开 $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \approx e \left( 1 - \frac{1}{2x} \right) $，得
$b = \lim_{x \to +\infty} x \left( \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{2x} \right) - \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{2e}$
答案：
斜渐近线方程为 $ \boxed{y = \frac{x}{e} + \frac{1}{2e}} $。
解析
本题考查曲线斜渐近线方程的求解。解题思路是先根据斜渐近线方程的定义，明确需要求出斜率 $a$ 和截距 $b$。斜率 $a$ 由极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x}$ 计算得出，截距 $b$ 由极限 $\lim_{x \to +\infty} (y - ax)$ 计算得出。在计算过程中，会运用到重要极限和泰勒展开式等知识。
1. 求斜率 $a$
已知曲线方程 $y = \frac{x^{1 + x}}{(1 + x)^x}$，根据斜渐近线斜率的计算公式 $a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x}$，可得：
$\begin{align*}a&=\lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x}\\&=\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1 + x}}{x(1 + x)^x}\\&=\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{1 + x}\right)^x\\&=\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\right)^x\\&=\frac{1}{\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x}\end{align*}$
根据重要极限 $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，所以 $a = \frac{1}{e}$。
2. 求截距 $b$
根据斜渐近线截距的计算公式 $b = \lim_{x \to +\infty} (y - ax)$，将 $a = \frac{1}{e}$ 和 $y = \frac{x^{1 + x}}{(1 + x)^x}$ 代入可得：
$\begin{align*}b&=\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^{1 + x}}{(1 + x)^x} - \frac{x}{e}\right)\\&=\lim_{x \to +\infty} x \left(\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} - \frac{1}{e}\right)\end{align*}$
由泰勒展开式 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \approx e \left(1 - \frac{1}{2x}\right)$，则 $\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} \approx \frac{1}{e \left(1 - \frac{1}{2x}\right)}$。
根据分式的性质 $\frac{1}{1 - t} = 1 + t + t^2 + \cdots$（当 $t$ 很小时），这里 $t = \frac{1}{2x}$，所以 $\frac{1}{e \left(1 - \frac{1}{2x}\right)} = \frac{1}{e} \left(1 + \frac{1}{2x} + \cdots\right) \approx \frac{1}{e} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)$。
将其代入 $b$ 的表达式可得：
$\begin{align*}b&=\lim_{x \to +\infty} x \left(\frac{1}{e} \left(1 + \frac{1}{2x}\right) - \frac{1}{e}\right)\\&=\lim_{x \to +\infty} x \left(\frac{1}{e} + \frac{1}{2ex} - \frac{1}{e}\right)\\&=\lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{1}{2ex}\\&=\frac{1}{2e}\end{align*}$
3. 得出斜渐近线方程
因为斜渐近线方程为 $y = ax + b$，将 $a = \frac{1}{e}$ 和 $b = \frac{1}{2e}$ 代入可得斜渐近线方程为 $y = \frac{x}{e} + \frac{1}{2e}$。