题目
4.设总体 sim N(mu ,(sigma )^2), x1,x2,x3为来自X的样本 hat (mu )=dfrac (1)(4)(x)_(1)+b(x)_(2)+dfrac (1)(2)(x)_(3) 是未知参数-|||-μ的无偏估计,则 b= __ -
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解无偏估计的定义
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：计算估计量的期望值
由于 $x_1, x_2, x_3$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，所以 $E(x_1) = E(x_2) = E(x_3) = \mu$。因此，估计量 $\hat{\mu} = \frac{1}{4}x_1 + bx_2 + \frac{1}{2}x_3$ 的期望值为：
$$
E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{4}x_1 + bx_2 + \frac{1}{2}x_3\right) = \frac{1}{4}E(x_1) + bE(x_2) + \frac{1}{2}E(x_3) = \frac{1}{4}\mu + b\mu + \frac{1}{2}\mu
$$
步骤 3：设置无偏估计的条件
根据无偏估计的定义，$E(\hat{\mu}) = \mu$，所以有：
$$
\frac{1}{4}\mu + b\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu
$$
将 $\mu$ 提取出来，得到：
$$
\left(\frac{1}{4} + b + \frac{1}{2}\right)\mu = \mu
$$
由于 $\mu$ 不为零，可以消去 $\mu$，得到：
$$
\frac{1}{4} + b + \frac{1}{2} = 1
$$
解这个方程，得到：
$$
b = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
$$
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：计算估计量的期望值
由于 $x_1, x_2, x_3$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，所以 $E(x_1) = E(x_2) = E(x_3) = \mu$。因此，估计量 $\hat{\mu} = \frac{1}{4}x_1 + bx_2 + \frac{1}{2}x_3$ 的期望值为：
$$
E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{4}x_1 + bx_2 + \frac{1}{2}x_3\right) = \frac{1}{4}E(x_1) + bE(x_2) + \frac{1}{2}E(x_3) = \frac{1}{4}\mu + b\mu + \frac{1}{2}\mu
$$
步骤 3：设置无偏估计的条件
根据无偏估计的定义，$E(\hat{\mu}) = \mu$，所以有：
$$
\frac{1}{4}\mu + b\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu
$$
将 $\mu$ 提取出来，得到：
$$
\left(\frac{1}{4} + b + \frac{1}{2}\right)\mu = \mu
$$
由于 $\mu$ 不为零，可以消去 $\mu$，得到：
$$
\frac{1}{4} + b + \frac{1}{2} = 1
$$
解这个方程，得到：
$$
b = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
$$