设 f(x, y) 在有界光滑曲线 L 上连续，L 关于 x 轴对称，则有（）。A. 若 f(x, y)= -f(-x, y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。B. 若 f(x, y)= f(-x, y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。C. 若 f(x, y)= -f(x, -y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。D. 若 f(x, y)= f(x, -y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。

本题考查曲线积分的对称性应用。关键在于理解曲线$L$关于$x$轴对称时，如何利用被积函数$f(x, y)$的对称性简化积分。核心思路是将曲线$L$分为上下两部分$L_+$（上半部分）和$L_-$（下半部分），通过变量代换分析积分关系。破题关键在于判断$f(x, y)$的对称性是否与曲线$L$的对称轴（$x$轴）一致，从而确定积分是否为零。

选项分析

选项A

若$f(x, y) = -f(-x, y)$，即$f$关于$y$轴为奇函数。但曲线$L$关于$x$轴对称，与$y$轴无关，因此积分$\int_{L} f(x, y)\, ds$无法通过奇偶性抵消，不成立。

选项B

若$f(x, y) = f(-x, y)$，即$f$关于$y$轴为偶函数。此时积分可能加倍，但与$x$轴对称性无关，不成立。

选项C

若$f(x, y) = -f(x, -y)$，即$f$关于$x$轴为奇函数。将$L$分为$L_+$和$L_-$，则：
$\begin{aligned}\int_{L} f(x, y)\, ds &= \int_{L_+} f(x, y)\, ds + \int_{L_-} f(x, y)\, ds \\&= \int_{L_+} f(x, y)\, ds + \int_{L_+} f(x, -y)\, ds \quad (\text{变量代换：} y \to -y) \\&= \int_{L_+} f(x, y)\, ds - \int_{L_+} f(x, y)\, ds \quad (\text{由条件} f(x, -y) = -f(x, y)) \\&= 0.\end{aligned}$
成立。

选项D

若$f(x, y) = f(x, -y)$，即$f$关于$x$轴为偶函数。此时积分变为：
$\int_{L} f(x, y)\, ds = 2 \int_{L_+} f(x, y)\, ds,$
结果不为零，不成立。