题目
(3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度() ()-|||-(A) a/so (B) /280 (C) G/480 (D) a/8ε0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷分布
导体球表面的面电荷密度为σ，因此球体的总电荷量Q可以通过球体表面积和面电荷密度计算得出。球体表面积为$4\pi R^2$，所以总电荷量$Q = \sigma \cdot 4\pi R^2$。
步骤 2：应用高斯定理
在距球面R处，即距离球心2R处，我们考虑一个以球心为心，半径为2R的高斯球面。根据高斯定理，通过这个高斯球面的电通量等于球体内部的总电荷量除以真空介电常数$\varepsilon_0$。即$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$。由于电场强度E在高斯球面上是均匀的，所以$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E \cdot 4\pi (2R)^2$。
步骤 3：计算电场强度
将步骤1中得到的总电荷量Q代入步骤2中的高斯定理表达式，得到$E \cdot 4\pi (2R)^2 = \frac{\sigma \cdot 4\pi R^2}{\varepsilon_0}$。化简得到$E = \frac{\sigma R^2}{4\pi \varepsilon_0 (2R)^2} = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0 \cdot 4} = \frac{\sigma}{16\pi \varepsilon_0}$。由于$\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$，代入得到$E = \frac{Q}{16\pi \varepsilon_0 R^2}$。因此，电场强度$E = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0 \cdot 4} = \frac{\sigma}{16\pi \varepsilon_0}$。
导体球表面的面电荷密度为σ，因此球体的总电荷量Q可以通过球体表面积和面电荷密度计算得出。球体表面积为$4\pi R^2$，所以总电荷量$Q = \sigma \cdot 4\pi R^2$。
步骤 2：应用高斯定理
在距球面R处，即距离球心2R处，我们考虑一个以球心为心，半径为2R的高斯球面。根据高斯定理，通过这个高斯球面的电通量等于球体内部的总电荷量除以真空介电常数$\varepsilon_0$。即$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$。由于电场强度E在高斯球面上是均匀的，所以$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E \cdot 4\pi (2R)^2$。
步骤 3：计算电场强度
将步骤1中得到的总电荷量Q代入步骤2中的高斯定理表达式，得到$E \cdot 4\pi (2R)^2 = \frac{\sigma \cdot 4\pi R^2}{\varepsilon_0}$。化简得到$E = \frac{\sigma R^2}{4\pi \varepsilon_0 (2R)^2} = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0 \cdot 4} = \frac{\sigma}{16\pi \varepsilon_0}$。由于$\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$，代入得到$E = \frac{Q}{16\pi \varepsilon_0 R^2}$。因此，电场强度$E = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0 \cdot 4} = \frac{\sigma}{16\pi \varepsilon_0}$。