题目
例2 有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播,已知振幅 =1.0m, 周期 =2.0s, 波长-|||-lambda =2.0m. 在 t=0 时,坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴的正方向运动.求:-|||-(1)波动方程;-|||-(2) t=1.0s 时各质点的位移分布,并画出该时刻的波形图;-|||-(3) x=0.5m 处质点的振动规律,并画出该质点的位移与时间的关系曲线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波动方程
波动方程的一般形式为 $y=A\cos(\omega t - kx + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$k$ 是波数，$\varphi$ 是初相位。根据题目条件，振幅 $A=1.0m$，周期 $T=2.0s$，波长 $\lambda=2.0m$。角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi s^{-1}$，波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \pi m^{-1}$。在 $t=0$ 时，坐标原点处的质点位于平衡位置沿 $Oy$ 轴的正方向运动，即 $y=0$，$v_y>0$，由此可得初相位 $\varphi = -\frac{\pi}{2}$。因此，波动方程为 $y=(1.0m)\cos [ 2\pi (\frac{t}{2.0s}-\frac{x}{2.0m})-\frac{\pi}{2}]$。
步骤 2：计算 t=1.0s 时各质点的位移分布
将 $t=1.0s$ 代入波动方程，得到 $y=(1.0m)\cos [ 2\pi (\frac{1.0s}{2.0s}-\frac{x}{2.0m})-\frac{\pi}{2}]$，化简后得到 $y=(1.0m)\cos [ \frac{\pi}{2}-(\pi m^{-1})x]$，进一步化简得到 $y=(1.0m)\sin (\pi m^{-1})x$。根据这个表达式，可以画出 $t=1.0s$ 时的波形图。
步骤 3：计算 x=0.5m 处质点的振动规律
将 $x=0.5m$ 代入波动方程，得到 $y=(1.0m)\cos [ 2\pi (\frac{t}{2.0s}-\frac{0.5m}{2.0m})-\frac{\pi}{2}]$，化简后得到 $y=(1.0m)\cos [ (\pi s^{-1})t-\pi]$。根据这个表达式，可以画出 $x=0.5m$ 处质点的位移与时间的关系曲线。
波动方程的一般形式为 $y=A\cos(\omega t - kx + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$k$ 是波数，$\varphi$ 是初相位。根据题目条件，振幅 $A=1.0m$，周期 $T=2.0s$，波长 $\lambda=2.0m$。角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi s^{-1}$，波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \pi m^{-1}$。在 $t=0$ 时，坐标原点处的质点位于平衡位置沿 $Oy$ 轴的正方向运动，即 $y=0$，$v_y>0$，由此可得初相位 $\varphi = -\frac{\pi}{2}$。因此，波动方程为 $y=(1.0m)\cos [ 2\pi (\frac{t}{2.0s}-\frac{x}{2.0m})-\frac{\pi}{2}]$。
步骤 2：计算 t=1.0s 时各质点的位移分布
将 $t=1.0s$ 代入波动方程，得到 $y=(1.0m)\cos [ 2\pi (\frac{1.0s}{2.0s}-\frac{x}{2.0m})-\frac{\pi}{2}]$，化简后得到 $y=(1.0m)\cos [ \frac{\pi}{2}-(\pi m^{-1})x]$，进一步化简得到 $y=(1.0m)\sin (\pi m^{-1})x$。根据这个表达式，可以画出 $t=1.0s$ 时的波形图。
步骤 3：计算 x=0.5m 处质点的振动规律
将 $x=0.5m$ 代入波动方程，得到 $y=(1.0m)\cos [ 2\pi (\frac{t}{2.0s}-\frac{0.5m}{2.0m})-\frac{\pi}{2}]$，化简后得到 $y=(1.0m)\cos [ (\pi s^{-1})t-\pi]$。根据这个表达式，可以画出 $x=0.5m$ 处质点的位移与时间的关系曲线。