题目

下列各题中，函数(x)f和(x)f是否相同？为什么？(x)f.

下列各题中，函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 是否相同？为什么？

$f\left(x\right)=1,g\left(x\right)=\sec^2x-\tan^2x$ .

题目解答

$f\left(x\right)=1$ 恒成立，其定义域为 $x\in R$ ;

$g\left(x\right)=\sec^2x-\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=1$ 恒成立，其定义域为 $x\ne k\ \pi\left(k\in Z\right)$

∵函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 定义域不同

∴函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 不相同。

判断两个函数是否相同，需满足两个条件：定义域相同，且对应法则完全一致。

本题中，虽然通过恒等变形可得$g(x)=1$，与$f(x)=1$的表达式相同，但需特别注意定义域的差异。

$f(x)=1$的定义域：全体实数$\mathbb{R}$，无限制。
$g(x)=\sec^2 x - \tan^2 x$的定义域：由$\sec x$和$\tan x$的定义域决定，即$\cos x \neq 0$，因此$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。

关键结论：两函数定义域不同，故不相同。

化简$g(x)$

表达式展开：
$g(x) = \sec^2 x - \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}.$
合并分式：
$g(x) = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos^2 x}.$
利用三角恒等式：
$1 - \sin^2 x = \cos^2 x,$
因此：
$g(x) = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 1.$

定义域分析

$f(x)=1$：定义域为$\mathbb{R}$。
$g(x)=1$：定义域为$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），因为$\cos x \neq 0$时$\sec x$和$\tan x$才有定义。

结论：两函数定义域不同，故不相同。