题目

下列各题中，函数(x)f和(x)f是否相同？为什么？(x)f.

下列各题中，函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 是否相同？为什么？

$f\left(x\right)=1,g\left(x\right)=\sec^2x-\tan^2x$ .

题目解答

答案

$f\left(x\right)=1$ 恒成立，其定义域为 $x\in R$ ;

$g\left(x\right)=\sec^2x-\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=1$ 恒成立，其定义域为 $x\ne k\ \pi\left(k\in Z\right)$

∵函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 定义域不同

∴函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 不相同。

解析

步骤 1：定义函数f(x)和g(x)
函数f(x)定义为f(x) = 1，其定义域为所有实数，即R。
函数g(x)定义为g(x) = sec²x - tan²x，其中sec(x) = 1/cos(x)和tan(x) = sin(x)/cos(x)。

步骤 2：化简g(x)
g(x) = sec²x - tan²x = 1/cos²x - sin²x/cos²x = (1 - sin²x)/cos²x = cos²x/cos²x = 1。
因此，g(x) = 1，其定义域为所有x，使得cos(x) ≠ 0，即x ≠ kπ，其中k为整数。

步骤 3：比较f(x)和g(x)的定义域
函数f(x)的定义域为所有实数，即R。
函数g(x)的定义域为所有x，使得cos(x) ≠ 0，即x ≠ kπ，其中k为整数。