题目
一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.
一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.
题目解答
答案
将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O点处的电场就是所有这些带电圆环在O点的电场的叠加。今取一半径为，宽度为的带电细圆环。带电圆环在P点的场强为：在本题中，，所以可得：上式中即：整个半球面为：，方向沿半径向外
解析
步骤 1：确定电荷分布和电场叠加原理
半球壳均匀带电，电荷面密度为σ。根据电场叠加原理，半球壳在球心处的电场强度是所有微小带电面元在球心处产生的电场强度的矢量和。
步骤 2：将半球壳分割成带电圆环
将半球壳分割成一系列不同半径的带电圆环。每个圆环的半径为r，宽度为dr。每个圆环的电荷面密度为σ，因此每个圆环的电荷量为dQ = σ × 2πrdr。
步骤 3：计算每个圆环在球心处的电场强度
每个圆环在球心处的电场强度为dE = (dQ / 4πε₀r²) × cosθ，其中cosθ = r / R。因此，dE = (σ × 2πrdr / 4πε₀r²) × (r / R) = (σ × rdr / 2ε₀R)。
步骤 4：积分求解整个半球壳在球心处的电场强度
将所有圆环在球心处的电场强度进行积分，得到整个半球壳在球心处的电场强度E = ∫dE = ∫(σ × rdr / 2ε₀R) = (σ / 2ε₀R) × ∫rdr = (σ / 2ε₀R) × (R² / 2) = σR / 4ε₀。
半球壳均匀带电，电荷面密度为σ。根据电场叠加原理，半球壳在球心处的电场强度是所有微小带电面元在球心处产生的电场强度的矢量和。
步骤 2：将半球壳分割成带电圆环
将半球壳分割成一系列不同半径的带电圆环。每个圆环的半径为r，宽度为dr。每个圆环的电荷面密度为σ，因此每个圆环的电荷量为dQ = σ × 2πrdr。
步骤 3：计算每个圆环在球心处的电场强度
每个圆环在球心处的电场强度为dE = (dQ / 4πε₀r²) × cosθ，其中cosθ = r / R。因此，dE = (σ × 2πrdr / 4πε₀r²) × (r / R) = (σ × rdr / 2ε₀R)。
步骤 4：积分求解整个半球壳在球心处的电场强度
将所有圆环在球心处的电场强度进行积分，得到整个半球壳在球心处的电场强度E = ∫dE = ∫(σ × rdr / 2ε₀R) = (σ / 2ε₀R) × ∫rdr = (σ / 2ε₀R) × (R² / 2) = σR / 4ε₀。