题目
13.设随机变量X与Y相互独立, sim N(1,1/4), sim N(1,3/4),-|||-求 (|X-Y|).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量Z的分布
由于X和Y是相互独立的正态分布随机变量，且$X\sim N(1,1/4)$，$Y\sim N(1,3/4)$，则$Z=X-Y$也是一个正态分布随机变量。根据正态分布的性质，$Z$的均值为$E(Z)=E(X)-E(Y)=1-1=0$，方差为$Var(Z)=Var(X)+Var(Y)=1/4+3/4=1$。因此，$Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算E(|Z|)
由于$Z\sim N(0,1)$，我们需要计算$E(|Z|)$。根据期望的定义，$E(|Z|)$可以表示为$E(|Z|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|t|\cdot f(t)dt$，其中$f(t)$是$Z$的概率密度函数。对于标准正态分布，$f(t)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-{t}^{2}/2}$。因此，$E(|Z|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|t|\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-{t}^{2}/2}dt$。
步骤 3：计算积分
由于$|t|$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上是奇函数，我们可以将积分分为两部分：$E(|Z|)=2{\int }_{0}^{+\infty }t\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-{t}^{2}/2}dt$。通过换元法，令$u={t}^{2}/2$，则$du=t\cdot dt$，因此$E(|Z|)=\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}{\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-u}du=\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}$。
由于X和Y是相互独立的正态分布随机变量，且$X\sim N(1,1/4)$，$Y\sim N(1,3/4)$，则$Z=X-Y$也是一个正态分布随机变量。根据正态分布的性质，$Z$的均值为$E(Z)=E(X)-E(Y)=1-1=0$，方差为$Var(Z)=Var(X)+Var(Y)=1/4+3/4=1$。因此，$Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算E(|Z|)
由于$Z\sim N(0,1)$，我们需要计算$E(|Z|)$。根据期望的定义，$E(|Z|)$可以表示为$E(|Z|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|t|\cdot f(t)dt$，其中$f(t)$是$Z$的概率密度函数。对于标准正态分布，$f(t)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-{t}^{2}/2}$。因此，$E(|Z|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|t|\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-{t}^{2}/2}dt$。
步骤 3：计算积分
由于$|t|$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上是奇函数，我们可以将积分分为两部分：$E(|Z|)=2{\int }_{0}^{+\infty }t\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-{t}^{2}/2}dt$。通过换元法，令$u={t}^{2}/2$，则$du=t\cdot dt$，因此$E(|Z|)=\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}{\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-u}du=\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}$。