设曲面Sigma:z=x^2+y^2(0leq zleq H)，则有（）. A. iint z,dS=iint(x^2+y^2),dSB. iint y,dS=-intsqrt(z-x^2),dSC. iint z,dS=0D. iint x,dS=intsqrt(z-y^2),dS

为了解决这个问题，我们需要在给定的曲面$\Sigma: z = x^2 + y^2$（其中$0 \leq z \leq H$）上评估每个给定的曲面积分。让我们逐步分析每个选项。 ### 选项A: $\iint\limits_{\Sigma} z \, dS = \iint\limits_{\Sigma} (x^2 + y^2) \, dS$ 由于在曲面$\Sigma$上$z = x^2 + y^2$，可以得出$z$和$x^2 + y^2$在$\Sigma$上是相同的函数。因此，积分$\iint\limits_{\Sigma} z \, dS$和$\iint\limits_{\Sigma} (x^2 + y^2) \, dS$是相等的。所以，选项A是正确的。 ### 选项B: $\iint\limits_{\Sigma} y \, dS = -\iint\limits_{\Sigma} \sqrt{z - x^2} \, dS$ 在曲面$\Sigma$上，$y = \pm \sqrt{z - x^2}$。积分$\iint\limits_{\Sigma} y \, dS$在$y$的正负值上是对称的，由于曲面关于$y = 0$对称，这个积分将为零。然而，$\iint\limits_{\Sigma} \sqrt{z - x^2} \, dS$是$\sqrt{z - x^2}$的正函数的积分，它不为零。因此，$\iint\limits_{\Sigma} y \, dS \neq -\iint\limits_{\Sigma} \sqrt{z - x^2} \, dS$。所以，选项B是不正确的。 ### 选项C: $\iint\limits_{\Sigma} z \, dS = 0$ 由于$z = x^2 + y^2 \geq 0$在曲面$\Sigma$上，且$z$不恒等于零，积分$\iint\limits_{\Sigma} z \, dS$不为零。所以，选项C是不正确的。 ### 选项D: $\iint\limits_{\Sigma} x \, dS = \iint\limits_{\Sigma} \sqrt{z - y^2} \, dS$ 在曲面$\Sigma$上，$x = \pm \sqrt{z - y^2}$。积分$\iint\limits_{\Sigma} x \, dS$在$x$的正负值上是对称的，由于曲面关于$x = 0$对称，这个积分将为零。然而，$\iint\limits_{\Sigma} \sqrt{z - y^2} \, dS$是$\sqrt{z - y^2}$的正函数的积分，它不为零。因此，$\iint\limits_{\Sigma} x \, dS \neq \iint\limits_{\Sigma} \sqrt{z - y^2} \, dS$。所以，选项D是不正确的。 根据分析，正确的选项是$\boxed{A}$。