两个半径分别为 R_1 和 R_2 的同心球壳，其间充满了电导率为 sigma (sigma 为常量) 的导电介质，若在两球壳间维持恒定电势差 U。试求：(1) 两球壳间的总电流；(2) 两球壳之间，离球心为 r 处的电流密度。

考查要点：本题主要考查同心球壳间导电介质中的电流分布，涉及欧姆定律、电势差与电场的关系，以及电流密度的计算。

解题核心思路：

1. 总电流计算：利用欧姆定律，将导电介质视为球壳间的导体，通过电导公式或电势差与电流的关系求解。
2. 电流密度计算：根据电流的稳恒性，电流密度在径向各处满足连续性条件，结合电场与电流密度的关系推导。

破题关键点：

• 电势差与电场的关系：通过积分电场强度确定电势差。
• 电流密度与电场的关系：利用欧姆定律 $\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E}$，结合球对称性简化计算。

第（1）题：总电流的计算

建立电势差与电流的关系

在同心球壳间，电场强度 $\mathbf{E}$ 沿径向，由电势差 $U$ 可得：
$U = \int_{R_1}^{R_2} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = \int_{R_1}^{R_2} E(r) \, dr$

联立欧姆定律与电流连续性

电流密度 $\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E}$，且稳恒电流满足：
$I = \int \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A} = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} j(r) r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = j(r) \cdot 4\pi r^2$
由此得 $j(r) = \frac{I}{4\pi r^2}$，代入 $\mathbf{E} = \frac{j}{\sigma}$，得：
$E(r) = \frac{I}{4\pi \sigma r^2}$

积分求总电流

将 $E(r)$ 代入电势差公式：
$U = \int_{R_1}^{R_2} \frac{I}{4\pi \sigma r^2} \, dr = \frac{I}{4\pi \sigma} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
解得总电流：
$I = \frac{4\pi \sigma R_1 R_2 U}{R_2 - R_1}$

第（2）题：电流密度的计算

利用电流连续性

由稳恒电流条件，电流密度满足：
$j(r) = \frac{I}{4\pi r^2}$
将第（1）题中求得的 $I$ 代入，得：
$\mathbf{j} = \frac{\sigma R_1 R_2 U}{(R_2 - R_1) r^2} \hat{r}$
其中 $\hat{r}$ 为径向单位矢量，方向从 $R_1$ 指向 $R_2$。