23.设随机变量X的概率密度为-|||-.f(x)= {x)^2,0lt xlt 2 0, .-|||-则 Y=1/X 的数学期望是 () 。-|||-A. 3/4-|||-B. 1/2-|||-C. 2/3-|||-D. 1/4

本题考查随机变量函数的数学期望的计算。解题思路是根据随机变量函数的数学期望公式，结合已知的随机变量$X$的概率密度函数，计算$Y = \frac{1}{X}$的数学期望。

已知随机变量$X$的概率密度函数为$f(x(x)=\begin{cases}\dfrac{3}{8}{x^2},&0\lt x\lt 2\\0,&\text{其他}\end{cases}$，要求$Y = \frac{1}{X}$的数学期望$E(Y)$。
根据随机变量函数的数学期望公式：若$)\(Y = g(X)$，则$E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$。
在本题中$g(X)=\frac{1}{X}$，所以$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x}f(x)dx$。
由于$f(x)$在$0\lt x\lt 2$时为$\frac{3}{8}x^2$，其他区间为$0$，所以积分区间可确定为$(0,2)$，则：
$E(Y)=\int_{0}^{2}\frac{x\cdot\frac{3}{8}x^2dx\}$
根据积分运算法则$\int x^n dx=\frac{1{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）对上式进行计算：
$E(Y)=\frac{3}{8}\int_{0}^{2}x dx=\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{2}$
将积分上下限代入可得：
$E(Y)=\frac{3}{16}\times(2^2 - 0^2)=\frac{3}{16}\times4=\frac{3}{4}$