题目
用一束具有两种波长(lambda )_(1)=600nm (lambda )_(2)=400nm的平行光垂直入射在光栅上,发现距中央明纹5 cm处,(lambda )_(1)=600nm (lambda )_(2)=400nm光的第k级主极大和(lambda )_(1)=600nm (lambda )_(2)=400nm光的第(k+1)级主极大相重合,放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=30 cm,光栅常数d=__nm
用一束具有两种波长
的平行光垂直入射在光栅上,发现距中央明纹5 cm处,
光的第k级主极大和
光的第(k+1)级主极大相重合,放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=30 cm,光栅常数d=__nm
题目解答
答案
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解析
步骤 1：确定光栅方程和位置关系
对于光栅衍射，由光栅方程 $d\sin \theta =m\lambda $。设 ${\lambda }_{1}=600nm$ 的光的第k级主极大的衍射角为θ1，则 $d\sin {\theta }_{1}=k{\lambda }_{1}$。设 ${\lambda }_{2}=400nm$ 的光的第 ${(k+1)}^{2}$ 级主极大的衍射角为θ2，则 $d\sin {\theta }_{2}=(k+1){\lambda }_{2}$。已知在距中央明纹 x=5cm 处两主极大重合，透镜焦距 f=30cm。根据几何关系 $\tan \theta =\dfrac {x}{f}$，在衍射角θ较小时，$\sin \theta \approx \tan \theta$。所以 $\sin {\theta }_{1}=\dfrac {x}{f}$，$\sin {\theta }_{2}=\dfrac {x}{f}$。
步骤 2：联立方程求解光栅常数d
由 $d\sin {\theta }_{1}=k{\lambda }_{1}$ 和 $d\sin {\theta }_{2}=(k+1){\lambda }_{2}$，且 $\sin {\theta }_{1}=\sin {\theta }_{2}$ 可得 $k{\lambda }_{1}=(k+1){\lambda }_{2}$。把 ${\lambda }_{1}=600nm$，${\lambda }_{2}=400nm$ 代入 $k{\lambda }_{1}=(k+1){\lambda }_{2}$，得到 $600k=400(k+1)$。解方程 $600k=400(k+1)$：$600k=400k+400$，$600k-400k=400$，$200k=400$，$k=2$。把 $k=2$ 代入 $d\sin {\theta }_{1}=k{\lambda }_{1}$，又因为 $\sin {\theta }_{1}=\dfrac {x}{f}$，$x=5cm=0.05m$，$f=30cm=0.3m$，${\lambda }_{1}=600nm=600\times {10}^{-9}m$，可得 $d\times \dfrac {0.05}{0.3}=2\times 600\times {10}^{-9}$。解得 $d=\dfrac {2\times 600\times {10}^{-9}\times 0.3}{0.05}=7.2\times {10}^{-6}m=7200nm$。
对于光栅衍射，由光栅方程 $d\sin \theta =m\lambda $。设 ${\lambda }_{1}=600nm$ 的光的第k级主极大的衍射角为θ1，则 $d\sin {\theta }_{1}=k{\lambda }_{1}$。设 ${\lambda }_{2}=400nm$ 的光的第 ${(k+1)}^{2}$ 级主极大的衍射角为θ2，则 $d\sin {\theta }_{2}=(k+1){\lambda }_{2}$。已知在距中央明纹 x=5cm 处两主极大重合，透镜焦距 f=30cm。根据几何关系 $\tan \theta =\dfrac {x}{f}$，在衍射角θ较小时，$\sin \theta \approx \tan \theta$。所以 $\sin {\theta }_{1}=\dfrac {x}{f}$，$\sin {\theta }_{2}=\dfrac {x}{f}$。
步骤 2：联立方程求解光栅常数d
由 $d\sin {\theta }_{1}=k{\lambda }_{1}$ 和 $d\sin {\theta }_{2}=(k+1){\lambda }_{2}$，且 $\sin {\theta }_{1}=\sin {\theta }_{2}$ 可得 $k{\lambda }_{1}=(k+1){\lambda }_{2}$。把 ${\lambda }_{1}=600nm$，${\lambda }_{2}=400nm$ 代入 $k{\lambda }_{1}=(k+1){\lambda }_{2}$，得到 $600k=400(k+1)$。解方程 $600k=400(k+1)$：$600k=400k+400$，$600k-400k=400$，$200k=400$，$k=2$。把 $k=2$ 代入 $d\sin {\theta }_{1}=k{\lambda }_{1}$，又因为 $\sin {\theta }_{1}=\dfrac {x}{f}$，$x=5cm=0.05m$，$f=30cm=0.3m$，${\lambda }_{1}=600nm=600\times {10}^{-9}m$，可得 $d\times \dfrac {0.05}{0.3}=2\times 600\times {10}^{-9}$。解得 $d=\dfrac {2\times 600\times {10}^{-9}\times 0.3}{0.05}=7.2\times {10}^{-6}m=7200nm$。