题目
下列表达式不是全微分的是(）。A. x , dy + y , dxB. (x - y)(dx - dy)C. (x^2 + y^2)dx + xy , dyD. (x^2 - y)dx - x , dy
下列表达式不是全微分的是(）。
A. $x \, dy + y \, dx$
B. $(x - y)(dx - dy)$
C. $(x^2 + y^2)dx + xy \, dy$
D. $(x^2 - y)dx - x \, dy$
题目解答
答案
C. $(x^2 + y^2)dx + xy \, dy$
解析
步骤 1：分析选项A
$P = y$，$Q = x$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 1 = \frac{\partial Q}{\partial x}$，是全微分。
步骤 2：分析选项B
展开得 $(x - y)dx - (x - y)dy$，$P = x - y$，$Q = -(x - y)$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -1 = \frac{\partial Q}{\partial x}$，是全微分。
步骤 3：分析选项C
$P = x^2 + y^2$，$Q = xy$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 2y \neq y = \frac{\partial Q}{\partial x}$，非全微分。
步骤 4：分析选项D
$P = x^2 - y$，$Q = -x$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -1 = \frac{\partial Q}{\partial x}$，是全微分。
$P = y$，$Q = x$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 1 = \frac{\partial Q}{\partial x}$，是全微分。
步骤 2：分析选项B
展开得 $(x - y)dx - (x - y)dy$，$P = x - y$，$Q = -(x - y)$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -1 = \frac{\partial Q}{\partial x}$，是全微分。
步骤 3：分析选项C
$P = x^2 + y^2$，$Q = xy$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 2y \neq y = \frac{\partial Q}{\partial x}$，非全微分。
步骤 4：分析选项D
$P = x^2 - y$，$Q = -x$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -1 = \frac{\partial Q}{\partial x}$，是全微分。