将满足空气下列要求的多变过程表示在p-v图和T-s图上(1) 理想气体的定温,定压,定容和定熵过程;(2) n=的膨胀过程,并判断q,w,u的正负。(6分)

本题主要考查理想气体的定温、定压、定容、定熵过程以及多变过程在 $p - v$ 图和 $T - s$ 图上的表示，同时需要判断多变膨胀过程中热量 $q$、功 $w$ 和热力学能变化 $u$ 的正负。

1. 理想气体各基本过程在 $p - v$ 图和 $T - s$ 图上的表示

• 定温过程（$T =$ 常数）
  • $p - v$ 图：根据理想气体状态方程 $p v=R T$（其中 $R$ 为气体常数），当 $T$ 为常数时，$p v = C$（$C$ 为常数），这是一个双曲线方程。在 $p - v$ 图上，定温线是一条双曲线，且温度越高，曲线离原点越远。
  • $T - s$ 图：因为 $T$ 为常数，所以在 $T - s$ 图上定温线是一条平行于 $s$ 轴的直线。
• 定压过程（$p =$ 常数）
  • $p - v$ 图：由理想气体状态方程 $p v=R T$ 可得 $v=\frac{R T}{p}$，当 $p$ 为常数时，$v$ 与 $T$ 成正比。在 $p - v$ 图上，定压线是一条过原点的直线，斜率为 $\frac{R}{p}$，压力越高，直线越陡。
  • $T - s$ 图：根据热力学关系 $d s = c_p\frac{d T}{T}$（$c_p$ 为定压比热容），积分可得 $s - s_1 = c_p\ln\frac{T}{T_1}$，这是一个对数曲线。在 $T - s$ 图上，定压线是一条斜率为 $\frac{1}{c_p}$ 的对数曲线，压力越高，曲线越靠近 $T$ 轴。
• 定容过程（$v =$ 常数）
  • $p - v$ 图：由理想气体状态方程 $p v=R T$ 可得 $p=\frac{R T}{v}$，当 $v$ 为常数时，$p$ 与 $T$ 成正比。在 $p - v$ 图上，定容线是一条过原点的直线，斜率为 $\frac{R}{v}$，比容越大，直线越陡。
  • $T - s$ 图：根据热力学关系 $d s = c_v\frac{d T}{T}$（$c_v$ 为定容比热容），积分可得 $s - s_1 = c_v\ln\frac{T}{T_1}$，这是一个对数曲线。在 $T - s$ 图上，定容线是一条斜率为 $\frac{1}{c_v}$ 的对数曲线，比容越大，曲线越远离 $T$ 轴。
• 定熵过程（$s =$ 常数）
  • $p - v$ 图：对于理想气体，定熵过程满足 $p v^{\kappa}=C$（$\kappa$ 为绝热指数，$\kappa=\frac{c_p}{c_v}$）。在 $p - v$ 图上，定熵线也是一条双曲线，但比定温线更陡。
  • $T - s$ 图：因为 $s$ 为常数，所以在 $T - s$ 图上定熵线是一条垂直于 $s$ 轴的直线。

2. 多变过程（$p v^n = C$）的膨胀过程及 $q$、$w$、$u$ 正负判断

• 功 $w$ 的判断
  功的计算公式为 $w=\int_{v_1}^{v_2}p\mathrm{d}v$，对于多变过程 $p v^n = C$，则 $p=\frac{C}{v^n}$，所以 $w=\int_{v_1}^{v_2}\frac{C}{v^n}\mathrm{d}v$。
  当 $n\neq1$ 时，$w=\frac{C}{1 - n}(v_2^{1 - n}-v_1^{1 - n})$。因为是膨胀过程，$v_2>v_1$，且多变过程中 $n$ 的取值范围一般为 $1 < n<\kappa$（这里假设 $n$ 在这个范围内），$1 - n<0$，$v_2^{1 - n}<v_1^{1 - n}$，所以 $w>0$，即膨胀对外作功。
• 热力学能变化 $u$ 的判断
  理想气体的热力学能变化公式为 $\Delta u = c_v(T_2 - T_1)$。由多变过程方程 $p v^n = C$ 和理想气体状态方程 $p v=R T$ 可得 $T v^{n - 1}=C'$（$C'$ 为常数）。
  因为是膨胀过程 $v_2>v_1$，且 $n>1$，$n - 1>0$，所以 $T_2<T_1$，即 $\Delta u = c_v(T_2 - T_1)<0$，热力学能减少。
• 热量 $q$ 的判断
  根据热力学第一定律 $q=\Delta u+w$，已知 $\Delta u<0$，$w>0$。
  由多变过程的热量公式 $q = c_n(T_2 - T_1)$（$c_n=\frac{R}{n - 1}$），因为 $n>1$，$T_2<T_1$，所以 $q<0$，即放热。