-35 打桩机锤的质量为m =10 t, 将质量为m′=24 t、横截面为S =0.25 m2 (正方形截面)、长达l =38.5 m 的钢筋混凝土桩打入地层,单位侧面积上受泥土的阻力为K =2.65 ×104 N? m -2 .问:(1) 桩依靠自重能下沉多深?(2) 在桩稳定后,将锤提升至离桩顶面1 m 处,让其自由下落击桩,假定锤与桩发生完全非弹性碰撞.第一锤能使桩下沉多少? (3) 若桩已下沉35 m 时,锤再一次下落,此时锤与桩碰撞已不是完全非弹性碰撞了,锤在击桩后反弹起0.05 m,这种情况下,桩又下沉多少?

分析 (1) 桩依靠自重下沉是利用重力势能的减少来克服摩擦力作功,可根据功能原理求解.(2)打桩过程可分为三个阶段.1.锤自由下落的过程.在此过程中,锤与地球系统的势能转化为锤的动能,满足机械能守恒定律.2.碰撞的过程.在这过程中,由于撞击力远大于重力和泥土的阻力,锤与桩这一系统满足动量守恒定律.由于碰撞是完全非弹性的,碰撞后桩和锤以共同速度运动.3.桩下沉的过程.在这过程中,桩和锤的动能和系统的势能将用于克服摩擦力作功,可应用系统的功能原理.根据以上分析列出相应方程式即可解.(3)仍为打桩过程.所不同的是,在此过程中,碰撞是非弹性的,因此,桩获得的速度还需根据锤反弹的高度求出.桩下沉时,仍是以桩的动能和势能减少来克服摩擦力作功的.

解 (1) 在锤击桩之前,由于桩的自重而下沉,这时,取桩和地球为系统,根据系统的功能原理,有

(1)

桩下沉的距离为

(2) 锤从1 m 高处落下,其末速率为 .由于锤与桩碰撞是完全非弹性的,锤与桩碰撞后将有共同的速率,按动量守恒定律,有

(2)

随后桩下沉的过程中,根据系统的功能原理,有

(3)

由式(2)、(3)可解得桩下沉的距离为

h2 =0.2 m

(3) 当桩已下沉35 m 时,再一次锤桩,由于此时的碰撞是一般非弹性的,锤碰撞后的速率可由上抛运动规律得 ,再根据动量守恒定律,有

(4)

随后,桩在下沉过程中,再一次应用系统的功能原理,得

(5)

由式(4)、(5)可得桩再一次下沉的距离

h3 =0.033 m

*3 -36 一系统由质量为3.0 kg、2.0 kg 和5.0 kg 的三个质点组成,它们在同一平面内运动,其中第一个质点的速度为(6.0 m?s-1 )j,第二个质点以与x轴成-30°角,大小为8.0 m?s-1 的速度运动.如果地面上的观察者测出系统的质心是静止的,那么第三个质点的速度是多少?

分析 因质点系的质心是静止的, 质心的速度为零, 即vC =drC

,故有 ,这是一矢量方程.将质点系中各质点的质量和速度分量代入其分量方程式,即可解得第三质点的速度.

解 在质点运动的平面内取如图3 -36 所示坐标.按 的分量式,有

其中 , ,θ =-30°,代入后得

则

*3 -37 如图所示,质量分别为m1 =10.0 kg和m2 =6.0 kg 的两小球A 和B,用质量可略去不计的刚性细杆连接,开始时它们静止在Oxy 平面上,在图示的外力F1 =(8.0 N) i 和F2 =(6.0 N) j 的作用下运动.试求:(1)它们质心的坐标与时间的函数关系;(2)系统总动量与时间的函数关系.

分析 两质点被刚性杆连接构成一整体,其质心坐标可按质心位矢式求出.虽然两力分别作用在杆端不同质点上,但对整体而言,可应用质心运动定律和运动学规律来求解.

解 (1) 选如图所示坐标,则t =0 时,系统质心的坐标为

对小球与杆整体应用质心运动定律,得

(1)

(2)

根据初始条件t =0 时,v =0,分别对式(1)、式(2)积分可得质心速度的分量与时间的函数关系式,有

(3)

(4)

根据初始条件t =0 时,x =xC0 ,y =yC0 ,对式(3)、式(4)再一次积分可得质心坐标与时间的函数关系式,有

及

(2) 利用动量定理并考虑到系统的初始状态为静止,可得系统总动量与时间的函数关系